写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第二篇第二部分 , 主要内容是讨论一下 Quliien 的关于光滑流形上的超向量丛理论 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
超向量从
2.超向量丛
事实上我们可以把超空间的概念推广为流形上的向量丛 .
定义4(超向量丛): 流形 上的向量丛 被称为一个超向量丛 , 如果在 中存在一个固定的 -分次结构且满足直和分解 , 其中 和 是 的两个子丛 , 当超向量丛 本身是 上的一个代数丛且在每个纤维上(即逐点纤维)满足
则称 为 上的一个超代数丛 .
事实上任何一个向量丛 均可以自然地视为一个超向量丛 .
对于任意一个超向量丛 , 类似于单个空间向量的情形 , 在 中有一个自然的 -分次结构且满足 , 于是 是流形 上的一个超向量丛 , 同时也是 上的一个超代数丛 , 从而前面定义的超迹运算可以逐点纤维地自然推广到超代数丛 的情形 , 即 .
设 为一光滑流形 , 令 为 的余切丛 生成的外代数丛 , 则 关于其中的偶 -分次结构或奇 -分次结构是一个自然的超代数丛 , 于是对于任意一个超向量丛 , 是一个超向量丛 , 而 则是一个超代数丛 , 这里如果 为实值超向量丛 , 那么 为实值外代数丛 , 如果 为复值超向量丛 , 那么 为复值外代数丛 .
下面分别令 , 和 的所有光滑截面构成的空间为 , 和 , 注意到 中的元素在空间 上的作用满足对于任意的 , 和 , 有 , 那么上面在超代数丛 上定义的超迹运算就可以扩展到空间 上 , 进而可以定义自然映射 , 而对于任意的 和 有 , 这样一来就有下面的引理 .
引理3：设 是一个超向量丛 , 则对于任意的 , 有 .
证明：注意到问题是局部的 , 故由向量丛的局部平凡性质可知 , 我们只需要对任意的 以及任意的 证明 , 于是我们直接计算可以得到
在上面的计算过程中 , 第一步和第六步我们利用了超括号的定义 , 第二步 , 第三步和第四步是利用了超代数乘法法则 , 第五步是由引理2得到 , 最后一步则是由引理1得到 .
以上提到的超括号的定义 , 超代数乘法法则 , 引理1和引理2均来自《Chern-Weil 理论(第二篇第1部分)》一文 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] D.Quillen , Superconnnections and the Chern character .
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