射影几何与度量几何
众所周知，在1853年法兰西学院教授 Edmond Laguerre（1834～1886）实际上提出了根据射影概念来建立 Euclid 几何度量性质的这一目标。
求两已给相交直线之间夹角的度量，可考虑通过原点分别与此两已知直线平行的两直线。设过原点的直线方程（非齐次坐标）为 。设 及 为过原点到无穷远圆点, 即到 与 两点的两 直 线（虚 的）。令此四直线分别为 。设 为 与 间的夹角，则 Laguerre 的结果为
其中 是四直线的交比。（1）式的意义是它可以作为用交比这一射影概念来定义角的大小，对数函数自然是纯数量性的，故可在任何几何中引进。
与 Laguerre 无关，Cayley 独立地迈进了第二步。他从代数观点研究几何。实际上他的兴趣在于代数形式（齐次多项式型）的几何解释。为了要证明度量概念能够用射影语言来表达，他专心致力于 Euclid 几何与射影几何的关系，我们要描述的工作是他的《关于代数形式的第 6 篇论文》(Sixth Memoir upon Quantics).
Cayley 的工作实际是 Laguerre 的思想的推广。后者用无穷远圆点定义平面角. 虚圆点实际是退化的二次曲线。在二维时Cayley 用任一二次曲线代替虚圆点，而在三维时他引进任何二次曲面。这些图形他称之为绝对形。Cayley 断言图形所有的度量性质，无非就是加上了绝对形或者关于绝对形的射影性质。他于是证明这个原则怎样使我们能导出角的新表达式与两点间距离的表达式。
他从平面上点可用齐次坐标表示的事实出发。这些坐标不看作距离或者距离的比，而作为既定的基本概念，无需乎也不能给予任何解释。为定义距离与角度大小，他引入二次型
与双线性型
方程 定义一条二次曲线, 即 Cayley 的绝对形. 绝对形的线坐标方程为
其中 是 的系数行列式 中 的余因子。 Cayley 用下列公式定义 与 两点间的距离 , 其中 , 及
线坐标为 及 的两直线的夹角 定义为
若取特殊二次曲线 为绝对形，则上述两个一般公式就变得简单. 这时, 若 与 是两点的齐次坐标，则它们之间的距离由下式给出；
若两直线的齐次线坐标为 与 ，则它们之问的夹角 由下式给出:
关于距离的表达式，若用简短写法 ，并设 与 是直线上三点,则
即距离的相加法则照样成立。取绝对形二次曲线为无穷远圆点 及 ， Cayley 证明距离与角度的公式将化成普通的 Euclid 公式。
读者注意，长度和角度的表达式里包含绝对形的代数表达式。一般，任一 Euclid 度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式。度量性质不是图形本身的性质，而是图形相关于绝对形的性质。这是 Cayley 以一般射影关系来决定度量的思想。射影几何中度量概念的地位和前者更大的普遍性，用 Cayley 的话来说："度量几何是射影几何的一部分。"
Cayley 的思想为 Felix Klein（1849～1925）所采纳，并将它推广到包括非 Euclid 几何。在1869～1870年间他(Klein)学习了 Lobatchevsky, Bolyai, von Staudt 的研究工作；然而即使在1871 年他还不知道 Laguerre 的结果。他觉得利用Cayley 的思想有可能把非 Euclid 几何，双曲几何与二重椭圆几何都包括在射影几何里面。Klein 是第一个认识到无需用曲面来获得非 Euclid 几何的模型的人。
Klein 首先指出 Cayley 没有说清楚他心目中的坐标究竟有什么意义。它们或者是没有几何解释的变量，或者是 Euclid 几何的距离。但要从射影几何中推导出度量几何，必须在射影基础上建立坐标. von Staudt 曾证明用他的投射代数 (algebra of throws) 可能给点规定以数。但他用了 Euclid 平行公理。看来 Klein 清楚地认识到这个公理能够去掉，并在 1873 年的论文中证明了这是能做到的. 于是四个点的、四条直线的、或者四个平面的坐标和交比，都可以在纯粹射影的基础上定义。
Klein 的主要思想是把 Cayley 绝对形二次曲面（若考虑三维几何)的性质具体化，就能证明依赖于绝对形性质的 Cayley 度量将产生双曲几何与二重椭圆几何。当二次曲面是实㮁球面或实概球暂物面，或实双叶双曲面时，便得到 Lobatchevsky 的度量几何;而当二次曲面是虚的时，便得到 Riemann 非 Euclid 几何（正的常曲率). 如果绝对形是球面虚圆, 其齐次坐标方程为 , 则得出普通的 Euclid 度量几何. 于是度量几何成为射影几何的特例。
我们用二维几何来领悟 Klein 的思想。在射影平面内选取一个二次曲线; 此二次曲线将为绝对形。其点坐标方程为
其线坐标方程为
要推导 Lobatohevsky 几何, 二次曲线必须是实的, 即其平面齐次坐标方程为 ; 对正的常曲率曲面上的 Riemann 几何来说，二次曲线是虚的，例如 ; 对 Euclid 几何，二次曲线退化成两根重合直线, 齐次坐标用 表示, 并在此轨迹上选取两个虚点，其方程为 ，即无穷远圆点，它的齐次坐标为 及 。在各种情况下二次曲线都是实方程。
为了说得具体起见，设二次曲 线如图1所示。若 与 为一直线的两点, 此直线与绝对形相遇于两点 (实的或虚的).则距离取作
括号中的量表示四个点的交比, 是一常量. 此交比可用点的坐标表示. 再者, 若有三点 在此直线上, 立即可以证明
故得 .
图1
图2
同样, 若 及 是两直线 (图2), 考虑过此两直线交点到绝对形的切线 与 (切线可以是虚线); 则 及 的夹角定义为
其中 是常量，括号中的量表示四直线的交比。
为解析地给出 和 值的表达式，并证明它们与绝对形的选取有关，设绝对形的方程为如上所给的 与 。由定义
现能证明若 与 为 与 的坐标,则
同样, 若 与 为两直线的坐标, 则用 能证明
常量 一般取为 ，使得 是实的，且全中心角是 。
Klein 应用角与距离的上述对数表达式，并证明如何能从射影几何导出度量几何来。于是若从射影几何开始, 则选取绝对形并应用以上距离与角的表达式，便能得到 Euclid 的，双曲的和椭圆的几何作为其特例。度量几何的性质则由绝对形的选择而固定。附带地说一下，Klein 的距离和角度表达式能够证明等于Cayley 的表达式。
若作射影平面到它本身的射影变换（即线性变换），它把绝对形变到本身 (虽然绝对形的点变到其他点)，则因为在线性变换下交比是不变的，距离和角度将不改变。使绝对形不变的那些线性变换就是由绝对形所确定的特殊度量几何的刚体运动或者全等变换．一般的射影变换不能使绝对形不变。于是射影几何本身在它所允许的变换中是更为一般的。
Klein 对非 Euclid 几何的另一项贡献是这样的研究结果，即他观察到有两种椭圆几何，据他说这结果于 1871 年第一次得到，但发表于 1874 年。在二重椭圆几何中，两个点并不总是确 定唯一的直线。在球面模型中当两个点在直径相对两端时这是很明显的. 第二种椭圆几何称为单重椭圆几何, 在这种几何中两个点永远确定唯一的一条直线. 从微分几何观点来看, 正的常曲率曲面上微分型 (用齐坐标) 是
在两种情况下都是 。然而, 在第一类中测地线是有限长度 的曲线, 若半径为 , 则此有限长度为 , 并且是封闲的 （回到它们自己）。在第二种类型中，测地线长为 或 ，并且仍然是封闭的。
有单重椭圆几何性质的一个曲面模型是 Klein 提出的 ，这是个半球面，包括其边界. 然而，边界上直径相对两端的任两点必须看作是一个点. 在半球面上的大圆弧是 "直线" 或是这个几何的测地线, 曲面上的普通角是这种几何的角. 于是单重椭圆几何 (有时称为椭圆几何, 那时二重粗圆几何称为球面的几何) 也可在正的常曲率空间实现。在这个模型中，至少在三维空间内我们不能把视为等同的这样两点实际连成一点。这种曲面将自交, 并且曲面上重合于自交交点处的点将看作是不同的点。
现在我们能看出为什么 Klein 把 Lobatchevsky 几何称作是双曲的, 把正的常曲率曲面上的 Riemann 几何称作是椭圆的, 把 Euclid 几何称作是抛物的。这种名称来自下述事实：即普通双曲线与无穷远直线相交于两点, 而相对应地在双曲几何中每一条直线交绝对形于两个实点. 普通椭圆与无穷远直线没有实的公共点, 同样在椭圆几何中每条直线与绝对形没有实的公共点. 普通拋物线与无穷远直线只有一个实公共点, 而在 Euclid 几何中 (作为射影几何中的一种几何），每条直线与绝对形只有一个实的公共点。
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