泛函分析之 Banach空间中的微分学

本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：

泛函分析之 Banach 空间中的微分学

多变量微分学中有两种导数 , 分别是梯度导数和方向导数 , 本文我们将这两者推广至无穷维空间 .

设 和 为 Banach 空间 , 且范数分别为 , 如果没有歧义的话我们以后会省略下标并设 是开集 , 而 是一个映射 .

Frechet 导数和 Gateaux 导数

定义1(Frechet 导数): 设 , 我们称 在 处 Frechet 可微或 -可微 , 如果 , 使得

令 , 称其为 在 处的 Frechet 导数或 -导数 .

如果 在 中各点都 -可微 , 而且 作为 到 的映射在 连续 , 那么我们称 在 处连续可微 . 如果 在 中各点都连续可微 , 那么我们称 在 上连续可微 , 表示为 .

平行于多变量微分学 , 我们由定义可证下述结论 .

(1) 若 在 处 -可微 , 则 唯一确定 ;

(2) 若 在 处 -可微 , 则 必在 连续 ;

(3) (链式法则) 设 和 是开集 , 以及 在 处 -可微 , 而 在 处 -可微 , 其中 , 则有 .

定义2(Gateaux 导数): 设 , 我们称 在 处 Gateaux 可微或 -可微 , 如果 , , 使得当 时

对一切 成立 , 我们称 为 在 处的 Gateaux 导数或 -导数 .

若 在 处 -可微 , 则有

由定义2我们得到下述性质 .

(1) 若 在 处 -可微 , 则 唯一确定 ;

(2) , ;

(3) 若 在 处 -可微 , 则 , 函数 在 处可微且 .

(4) 设 在 内各点处 -可微 , 且线段 , 则

我们来证明这一结论 . 令

对某个依赖于 的 , 有

由 Hahn-Banach 定理即得结论 .

(5) 若 在 处 -可微 , 则 在 处 -可微 , 且有 . 反之不成立 , 但我们有下面的结果 .

定理1: 设 是 -可微的 , 且 , 满足 . 如果映射 在 处连续 , 那么 在 处 -可微且 .

证明: 不失一般性 , 我们设线段 在 中 , 由 Hahn-Banach 定理可知 , 满足 , 使得

令 , 由中值定理可知 , 使得

即 .

定理3的重要性在于这样的事实 , 即对于一个给定的映射要直接写出它的 -导数并不容易 , 但是其 -导数则可以约化为单变量微分 . 在多变量微分学中也是这样 , 梯度被约化为偏导数 , 而偏导数被约化为单变量导数 . 下面我们来看几个例子 .

例1: 设 , , 则有对任意的 有 .

例2: 设 , 及 , 设

则有

例3: 设 为一开有界区域 , 记 为 上的连续函数空间 , 而 为一个 函数 . 定义映射 为 , 则 是 -可微的 , 且 , 有

然后我们来证明这个例3中的结果 . 即对任意的 , 有

其中 . 对任意的 和 , 存在 使得当 及 , 有

我们选取 , 则对 , 有

这蕴含 .

注意到乘法算子 是线性且连续的 , 且映射 是从 到 的连续映射 , 由定理3可知 , 是 -可微的 , 且

接下来我们在更为一般的空间上考察非线性微分算子 . 设 为一有界开集 , 设 为一非负整数 , , 及 Holder空间 定义为由 函数和有 Holder 连续 阶偏导数构成的空间 , 其范数定义如下

及

其中 是一个多重指标 , 事实上有 和 .

我们总是用 表示指标集 的个数 , 并用 表示集 . 设 为非负整数 , 且 , 定义 阶微分算子为 . 再设 , 则 , 同样 是 -可微 . 进一步有

其中 是关于指标为 的变量的偏导数 .

例4: 设 , 定义

则 是F-可微的 . 进一步有

特别地 , 在变分学中经常出现以下泛函 . 设 是一个函数 , 且具有形式

其中 及 在 中 , 以及 . 设

然后有

例5：设 是一个 Hilbert 空间且有内积 而范数 的 -导数 . 设 , 既然

故我们有 且对于一切 连续 , 因此 是 -可微的 , 且 . 因为 , 由链式法则 可知 , 当 , 有 .

在偏微分方程和变分学中 , 经常使用 Sobolev 空间 , 我们要把以上的讨论推广到定义在 Sobolev 空间中的非线性算子 .

对任意的 和非负整数 , 设

其中 代表 的 阶广义导数 , 即广义函数意义下的导数 , 定义函数

这个 Banach 空间就是指标为 的 Sobolev 空间 , 此时 记作 , 在这个范数下的闭包记为 .

Nemytscki 算子

我们可以把复合算子 扩展到 Sobolev 空间上 , 使得 对 未必连续 , 这类算子有时称为 Nemytscki 算子.

定义3: 设 为一测度空间 , 我们称 是一个 Caratheodory 函数,如果

(i) , 连续 ;

(ii) , 是 -可测的 .

引入 Caratheodory 函数的目的在于如果只假定 是可测的 , 那么复合函数还是可测的 . 事实上存在一列简单函数 使得 , 由(ii) 可知 可测 , 再由(i)可知 , , 因此 可测 .

定理2: 设 , 且 , 又设 是一个 Caratheodory 函数 , 满足 , 则 是从 到 的有界连续映射 .

证明: 由于有界性由 Minkowski 不等式

得到 , 其中 为 范数 , 我们转而证明连续性 , 于是只需证 , 如果在 中 , 则存在子列 使得在 中 即可 . 事实上 , 我们可以找到 的子列 收敛到 , 且满足 , 其中 , 所以

因为 可测 , 而且有

我们得到 . 注意到

以及

由 Lebesgue 控制定理可知 , 我们有 , 这就证明了 的连续性 . 然后我们有下面三个推论 .

推论3: 设 为一光滑有界区域 , 并设   , 若 为 Caratheodory 函数 , 满足

其中 是一个 -向量 , 以及 , 且 , 则 定义了一个从 到 内的有界连续映射 .

推论4：设 , 及 是 Caratheodory 函数 , 若 , 其中 , , 且 , 当 时则此限制不必要 , 则泛函 在 上 -可微 , 且 -导数为 , 其中 为 上的内积 .

推论5: 令 , 则从 到 的微分算子 是 -可微的且有

高阶导数

把 在 处的二阶导数定义为 在 处的导数 . 因为 , 应属于 . 不过如果我们将其等同于有界双线性映射空间 , 并证明 作为双线性映射是对称的 , 参看下面的定理6 , 那么我们就可以等价地如下定义二阶导数 , 即对于 , 若存在 的双线性映射 满足

则称 为 在 处的二阶导数 .

以同样的方式 , 我们依次定义 处的 阶导数为 是一个 -线性映射 , 满足

当 , 则 称为在 处 次可微 .
类似于有限维向量函数 , 我们有下面的定理 .

定理6: 设 在 处 阶可微 , 则对 的任意排列 , 有

证明: 我们只证 的情形 , 即

事实上 , 考察函数 , 以及它在 为二次可微 , 故有

既然 在 很小时连续 , 我们有

从而

类似地有

这证明了结论 .

定理7(Taylor 公式): 设 是 阶连续可微的 , 且线段 , 则有

证明: , 考虑函数 , 由 Hahn-Banach 定理及下面的单变量函数 Taylor 公式

我们得到所要的 Banach 空间之间映射的 Taylor 公式 .

例6: , , 如果 二次连续可微 , 则

例7: , , 设 , 定义

其中 . 由定义可知 , 我们有

及

连同 的增长性条件如下

则 在 中二次可微 . 作为 到其自身的算子

是自伴的 , 或等价地定义在 上的算子 是自伴的 , 定义域为 .

例8: 设 , 其中 是一个平面区域 , 考虑体积泛函 , 则有

以及

其中对于任意的 .

如果我们进一步假定 , 则由分部积分以及外微分的反对称性可得

以及

因此

通过同样的方式可得

而在几何上 是 中的一个参数化曲面 , 则 是曲面包含的几何体的体积 .

最后推荐一下泛函分析的一些参考书目：

[1] Serge Lang . Real and Functional Analysis . Graduate Texts in Mathematics . Vol.142 .

[2] John B.Conway . A course in Functional Analysis . Graduate Texts in Mathematics . Vol.96 .

[3] Kosaku Yosida . Functional Analysis . Classics in Mathematics .

[4] Walter Rudin . Functional Analysis . (华章数学译丛)