写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第四篇第三部分 , 主要内容是讨论一下流形上的 -群和 Chern 特征 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
流形上的 K-群和 Chern 特征
4.流形上的 -群和 Chern 特征
本文我们回到复超向量丛的情形 , 仍然令 是紧致光滑流形 上的复超向量丛 , 同时 是 上的 -线性联络 , 是联络 上的曲率 , 而 和 分别是 和 上的联络 , 注意到 是 上的一个超联络 , 那么与 相伴的 Chern 特征形式定义为
然而相应的上同调示性类为 , 称为 的 Chern 特征 .
事实上 Chern 特征的另一个定义是将 表示为
则有 , 上式中的系数对于得到整性的结果十分有必要 .
Chern 特征的重要性体现在它与紧致光滑流形 的 -群之间的密切联系中 , 关于 -群或 -理论的内容可以参考《M.F.Atiyah , -theory》 . 众所周知 , 如果 和 是紧致光滑流形 上的两个复向量丛 , 那么可以构造 和 的 Whitney 直和 作为 上的向量丛 , 于是在每一点 处的纤维 是纤维 和 的直和 . 根据 Chern 特征的定义 可知 , 如果 和 是紧致光滑流形 上的两个复向量丛 , 那么显然有
我们令 为 上全体复向量丛构成的集合 , 则在 Whitney 直和运算的意义下 成为一个交换半群 . 然后我们在 中引入一个等价关系 , 即如果存在紧致光滑流形 上的复向量丛 使得 同构于 , 那么两个复向量丛 和 彼此等价 , 于是 在该等价关系下的商空间 仍然是交换半群 . 然后 Atiyah 和 Hirzebruch 就给出了紧致光滑流形 上的 -群 为 , 而它的群结构是由上面的交换半群点则诱导出来的 , 从而根据 可知 , Chern 特征可以自然地扩张同态 , 而这个同态的重要性就可以用来描述 Atiyah 和 Hirzebruch 的一个结果 , 即对于闭的定向流形 , 如果忽略 -群 中的挠元素 , 那么诱导同态 就成为一个同构 .
另一方面 , 在《Chern-Weil 理论(第四篇第2部分)：流形上切丛的示性类》一文中的与整性有关的结果可以推广为系数为复向量丛的情形 , 对于任意偶数维的闭定向流形 上的任意复向量丛 , 示性数 是整数 , 对于任意偶数维的闭定向 -流形 上的任意复向量丛 , 示性数 是整数 , 更多的结果可以参考《M.F.Atiyah , F.Hirzebruch , Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds》.
事实上这里面所有与整性有关的结果都 Atiyah-Singer 指标定理的特例 . 利用本文所定义的 Chern 特征形式 , 可以将《Chern-Weil 理论(第四篇第2部分)：流形上切丛的示性类》一文中的所涉及的 Alvarez-Gaume 和 Witten 在 维情形下的公式改写为
如果 为闭定向流形 上的一个闭 -形式 , 那么《Chern-Weil 理论(第四篇第2部分)：流形上切丛的示性类》一文中的所涉及的 F.Han 和 W.Zhang 在维数为 的 -流形情形的推广的结果为
其中 和 则是相应闭的定向流形的切丛 和 上的某个 Riemann 度量的 Levi-Civita 联络 , 而 则表示复切丛 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] S.S.Chern , J.Simons , Characteristic forms and the geometric invariants .
[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .
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