写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第四篇第四部分 , 主要内容是讨论一下 Chern-Simons 超渡形式 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Chern-Simons 超渡形式
5. Chern-Simons 超渡形式
现在开始我们正式考察《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》一文中的超渡公式 , 即
中的右端出现超渡项 , 通常我们称为 Chern-Simons 超渡形式 . 在许多情形下这一项是一个闭微分形式 , 从而给出 中的一个上同调类 , 一个比较经典的例子就是 和 为平坦联络 , 即曲率 和 均为零的情形 , 还有另外一个典型的例子就是 维定向光滑紧致流形 上的切丛即 , 事实上虽然我们在《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》一文中仅对于复向量丛的情形证明了上面的超渡公式 , 但我们仍可以不加任何改动地对于实向量丛的情形进行证明此公式 .
回想一下来自 Stiefel 的一个比较经典的结果 , 即一个 维定向光滑紧致流形 的切丛 是拓扑平凡的 , 故我们可以选取 的一个固定的整体截面基 , 然后对任意截面 则可以表示为 , 其中 是 上的光滑函数 . 令 是切丛 上的联络且满足 , 于是 上的任意联络 就可以改写为 , 这里 为 上的另一个联络 . 对任意的 , 我们令 并且取 , 由于维数的原因 , 超渡项 是闭的微分形式 , 于是就有
在相差一个常数的情况下 , 上面的闭 -形式就是 Chern-Simons 形式 , 而 Chern-Simons 形式广泛出现在拓扑 , 几何以及数学物理众多领域中 , 更多相关内容可以参考《S.S.Chern , J.Simons , Characteristic forms and geometric invariants》 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] S.S.Chern , J.Simons , Characteristic forms and the geometric invariants .
[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .
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