写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第三篇第二部分 , 主要内容是讨论一下 Chern-Weil 定理与示性类 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Chern-Weil 定理与示性类
本文我们只讨论没有分次的向量丛的情形 , 而对于超向量丛的情形 , 我们只需根据《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》中最后的补充说明作相应形式上的变化即可 , 即把迹 替换为超迹 , 联络 替换为超联络 .
2.示性式 , 示性类和示性数
由《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》中最后的补充说明以及定理3——Chern-Weil 定理中的(i)可知 , 对于任意形式幂级数多项式 , 作为闭微分形式决定了上同调类 , 而《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》一文中的定理3——Chern-Weil 定理中的(ii)可知 , 这个上同调类不依赖于联络 的选取 .
我们可以给出下面的定义 . 微分式 称为向量丛 的与 和 相联系的示性式 , 并记作 . 而上同调类 称为向量丛 的与 相联系的示性类 , 记作 .
事实上 , 示性式是相应示性类的微分形式的代表元 , 故我们也称若干个示性式或示性类的乘积为一个新的示性式或示性类 . 下面我们假设 是闭的定向流形 , 从而微分形式可以在 上积分 .
设 为 上的 个复向量丛 , 而 分别是这些复向量丛上相应的联络 , 如果给定 个幂级数多项式 , 那么可以构造示性式
其中 为该形式在 中的分量 , 则有下面的引理 .
引理4：由下面的式子
定义的数不依赖于联络 的选取 , 其中 .
证明：不失一般性 , 我们假设 为 的另一个联络 , 故根据《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》一文中的定理3——Chern-Weil 定理中的(ii)可知 , 存在 上的微分形式 满足
然后再根据《Chern-Weil 理论(第三篇第1部分)：Chern-Weil 定理与超渡公式》一文中的定理3——Chern-Weil 定理中的(i)和 Stokes 公式可知
引理由此得证 .
最后说明一下 , 由引理4中的式子定义的数是与示性类 相联系的示性数 , 并记作 , 这里的 表示流形 的某个上同调类在流形代表的基本类 上的赋值 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] D.Quillen , Superconnnections and the Chern character .
[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .
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