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今天的文章主要是补充一下电动力学 , 主要内容是 Kirchhoff 公式的应用——小孔衍射 .
3.Kirchhoff 公式的应用——电磁波的小孔衍射
我们在《68000里程碑！献上电动力学专题：电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导》一文中讨论了电磁波的衍射问题并推导了 Kirchhoff 公式 , 现在我们以小孔衍射为例来给出 Kirchhoff 公式的应用 .设无穷大平面的屏幕中间有一个小孔 , 为屏幕右侧空间 , 界面 包括了三部分 , 分别是小孔表面 , 屏幕右侧表面 和无穷大半球面 , 如上图所示 . 不过为了应用《68000里程碑！献上电动力学专题：电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导》中的 Kirchhoff 公式 , 我们必须对界面上的 和 的值进行合理的假定 , 故作出如下假设 .
(i) 在小孔表面 上 和 等于原来入射波的值 , 即与没有屏幕存在时的值是相同的 .
(ii) 在屏幕右侧表面 上有 .
这两个假设都是一种近似方法 , 事实上当有屏幕存在时必然会对原来入射的电磁波产生扰动 , 尤其是在小孔边缘附近 , 入射电磁波受到的扰动是比较大的 , 故在小孔表面 上 和 的值不可能与原来的入射电磁波的相应的值完全相同 , 但是当小孔半径远小于波长时 , 小孔表面大部分面积的场受到的扰动不大 , 进而假设(i)不会导致很大的误差 , 而在屏幕右侧表面 上只有在小孔边缘附近的 和 才可能显著地不等于 , 这样一来假设(ii)也可以近似成立 . 不过我们为了计算出《68000里程碑！献上电动力学专题：电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导》中的 Kirchhoff 公式中的 的值 , 还必须知道无穷大半球面 上 的值 .如上图所示 , 取坐标原点在小孔中心处 , 表示 上的一点 , 而 为区域 内距离小孔有限远处的任意一点 , 令 和 , 以及 , 由于右侧空间的电磁波是由小孔出射的波 , 故在无穷远处应该有 , 其中 表示与方向有关的某个函数 . 在 上向内法线方向的单位矢量为 , 于是得到
事实上在《68000里程碑！献上电动力学专题：电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导》中的 Kirchhoff 公式中 , 为从 到 的矢径 , 当 时 且有 , 因此在 上到 有
进而《68000里程碑！献上电动力学专题：电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导》中的 Kirchhoff 公式在无穷大半球面 上的积分趋于零 , 此时只剩下对小孔表面 的积分 , 即
再由假设(i)可知 , 在小孔表面上场强可以取入射电磁波的场强 , 于是我们设 为入射电磁波 , 其中波矢为 和 为在原点处的场强 , 此时上面的积分式的右边被积函数中的 可以用 代入 , 则有 .我们在屏幕右侧远处观察沿着 方向的衍射电磁波 , 在实际观察中我们可以用透镜聚焦衍射波 , 称为 Fraunhofer 衍射 . 如上图所示 , 设 为小孔表面上的一点 , 为空间远处的一点 , 沿着 方向 , 而 和 , 我们继续对上面的积分式中略去 高次项后得到
其中 为入射电磁波的波矢 与法线方向 的夹角 , 为衍射电磁波的波矢 与法线方向 的夹角 , 而 称为倾斜因子 .
如果用 表示衍射电磁波的强度 , 那么可以用上面的积分式计算出衍射波的强度和 的关系 , 并由此得到衍射图样 . 在小孔衍射的情形下 , 我们发现实验测得的衍射图样与计算结果相符 , 这意味着我们之前的假设(i)和假设(ii)是近似正确的 , 但是在通过狭缝的微波衍射问题中 , 由于波长和衍射角比较大 , 标量理论就不能很好地解释其结果 , 于是我们只能从电磁场的矢量方程出发来导出矢量场的衍射公式 , 这个结果比较复杂 , 我们这里就不再展开讨论了 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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