最近听了两堂还不错的课，总结一下，也供这两位老师还有其他老师参考。
第一堂是一年级的《10的认识》。这位老师教学目标（学会“十是比9多1的那个数”、“十的表示是10”，顺便感受到“引入十的好处——可以一捆捆地来更方便地表示数或者物”）明确，教具丰富适合，教学活动有适度重复，对每一位学生都基本上做到了有关注有鼓励（除了对一位头脑活跃提出好几个预期之外的问题——例如100个一1000个十是多少——的好苗子，没有接这个生成内容的好机会）。从内容启发性深刻性理解性之外的角度来看，属于非常好的课程。
但是，如果从内容来看则满目苍夷，甚至很多内容是错的。这个根源在于这位老师以及其所使用的教材对数学的认识太浅。
第一，通过“十是比9多1的那个数”来学习数学的含义对吗？错。这个背后的逻辑是数数——通过每次增加1来把“已知”的数连起来记住背诵下来。这个意义上的数数，完全不能获得新数，只能当作一个记住数和数清楚一大团物体的数的方式。当然，数数也可以当作获得新数的方式。但是，如果那样做，则必须先学会这个获得新数的方式意义上的数数。
如果我们真的想把数数当作获得新数的方式，又怎么讲呢？首先，我们从日常生活语言中的“一个苹果，两个鸡蛋，三个人”等等等等之中，通过把物体名称和量词抽象掉忽略掉（这一步要让学生体会之后来总结提炼，不能直接告诉学生这叫做抽象）而得到“1，2，3”。然后，我们就会注意到这个1、2、3之间竟然还有关系——就是对于同样的量词的同样的对象，我们可以把两个这样的量下的“一个”对象放在一起而得到“两个”这样的对象，我们可以把三个这样的量下的“一个”对象放在一起而得到“三个”这样的对象，我们可以把这样的量下的“一个”对象和把这样的量下的“两个”对象放在一起而得到“三个”这样的对象。同样注意，这里的对象和联系都通过具体例子来展示给学生，合适的时候做总结提炼成为一般。这其实就帮助学生学会了加法（在同样的量下把两堆对象放在一起来看数量）和一种特殊的加法——每次增加一——也就是数数。接着，我们来引入四，发现，有两个方法，第一，直接来自于对日常语言的抽象（去掉细节留下共性）；第二来自于数数——问要是给三增加一会是什么从而发现就是日常语言中的四。在这里，我们总结，数数可以帮助我们获得新的数——至于这个新的数叫什么记号是什么，那是另一回事。最后，有了前面的这些铺垫（它们可能得经过好几个小时的课），我们终于就认识到数数——每次增加一的加法计算——可以帮助我们认识新的数。这个时候，我们只需要从四开始，给每一个增加的数增加一个名称的约定，必要的话一个记号的约定（注意，记号的约定的意义远远小于名称的约定，不同的进制下这个约定是完全不同的，例如十、X、10、1010等等等等），一直到十。这样就理解了十的含义。
否则从数数来定义十，那根本就是死记硬背，完全不理解十这个数的真正含义。如果上课的时候，还把定义当作为什么的答案来问，那更加就是没有逻辑。定义是约定的，只有推理才能讲为什么。当然，另一个意义上的为什么——为什么这样定义，那也是很好的问题，但是那是完全在另一个更高层次的问题了。
第二，把“十的表示是10”当作一个教学目标，而且是在没有十进制的概念的基础上，对不对？错。第一，前面已经提到了，数的表示的教学价值远远低于数的含义的教学价值，并且数的表示不是只有十进制这一种。第二，时间点也不对，当第一次学习到一个新概念新对象的时候，尽量更关注其含义。第三，如果想为后来的进制铺垫一下，也只需要展示，有了十这个新的数之后，我们可以通过“这里有三个十，两个一”来表示“三十一”这个原来不能表示的数就可以了。其实，这里的三个十就相当于未来的数位表示上的那个十位上的“3”。
因此，我们看到，这堂课的教学目标的实现和教学技巧、课堂管理都很好，但是教学目标本身是错的，教学目标的实现方式是错的，更加没有帮助学生体会到数学背后的思维方式——抽象和具体化这一对、逻辑推理以及知识的系统性。
当然，反过来，大家也看到了，我要是来教怎么教：从生活抽象提炼到一二、三这三个数（合适的时候点出来这叫做抽象，以及把这个一二三再一次用于描述具体对象的时候叫做具体化），从一、二、三的关系引入加法的含义（同样单位下两堆同样的对象放一起看数量），以及特殊的加法——数数也就是每次增加一的加法。然后，通过学习四来看到通过抽象和具体化以及通过数数来获得新数的两条路，并且把后一条推广出去，区分清楚数的含义和名称。最后，来学习五到十的含义。顺便，《小学数学这样学》就是这个思路和指导思想（帮助学生体会到数学的学科大图景，其典型思维方式、分析方法、典型研究对象、典型研究问题、其学科典型责任）下的产物。
这就是人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的理解型学习，学会这样来学习和思考的孩子未来在创造知识和创造性使用知识，在欣赏知识的创造和创造性使用，甚至在考试成绩上，都会具有无以伦比的优势，真正达到高效率而且深刻地学习。
另一堂物理课也类似。其主要内容是电压表、电流表接错、用电器（灯泡）断路和短路等电路中的典型问题的识别——通过看电表的读数和用灯泡是否亮（其实这里有个小问题，是否亮更合适的是电流或者说电功率是否小于多少，不过无所谓了）。教师通过让学生来搭建实际电路、绘制和分析相应的电路图的方式，展示了各种问题，帮助学生学会识别这些问题。课堂活动、教具使用、对学生的关注等等这些方面也表现得非常好，教学目标明确而且实现得也很好。
但是，同样的问题是：没有学科高层知识。例如，实际上，上面的那些实验、分析、总结完成之后，还进行了对结论的检验，很好的机会来总结提炼科学研究方法——观察和测量得到数据、数据分析、概念建模（概念提炼）、数学建模、求解模型、实验检验、知识的系统化、科学研究方法的提炼。但是，老师没有这样做。例如，实际上，这里的绝大多数问题都可以很好地用“电压表内阻很大很大（的电磁感应电流表）”、“电流表内阻很小很小（的电磁感应电流表）”来理解。例如，当电压表串联接入电路会怎样，就可以简单地用$I=U/(R+R_{v})$，$V=UR_{v}/(R+R_{v})$来理解：你看，如果R远远小于R_{v}则V接近U；如果R和R_{v}接近，则V会明显小于U。更一般的混合电路也是如此。
这样学生会感受到，我们不需要记住任何欧姆定律之外的知识，就可以分析所有的电路问题了，更加不需要记住电路典型问题有哪些。物理学家是需要依靠数学来思考的。
感谢两位老师给我提供的好素材。同时，我也发现，现在的中小学教学，在规范性上，在基本目标和目标的实现上做得不错，但是，在学科内容尤其是学科高层知识上，差得太多太多。只有提升教师的学科理解，帮助其掌握学科高层知识，进一步帮助其养成以高层知识为目标的理解型教学，才能真正发现和辅助创造者的成长。
老师们，为了孩子们更好地成为创造者和创造欣赏者，只有把咱们自己逼一逼了。
顺便，我们的人类知识高速公路上以高层知识生成器为目标的理解型学习，就是给大家提供这样的概念、理念和方法技能，甚至软件、辅导等脚手架的。
赋能教师/家长，点亮学习者。
