此处我们使用了广义相对论里经常采用的多数为正的度规号差(-+++)。其中线长里的时间和空间部分反号是为了保持光速不变原理在任意惯性系下成立。它暗含着重要的因果律结构，但该结构不作为本文讨论的重点。将上式写成容易推广到广义相对论的紧凑形式

其中η应如下常数对角矩阵的矩阵元

它是狭义相对论闵可夫斯基平直时空的度规，决定了该时空内任意两点（事件）间度量长度的方式。它基本可以看成是毕达哥拉斯定理在狭义相对论中的推广。在爱因斯坦1915年的广义相对论中，引力被解释成四维时空流形的内禀弯曲。流形上的线长被推广成由如下更一般形式的二次型决定

其中是广义相对论里的度规。它可以是时空坐标的函数，不一定再像狭义相对论那样只是简单的常数对角矩阵。可通过合适的定义选取让其满足

该度规决定了弯曲时空流形上任意两点（事件）间度量长度的方式。为了避免重复写求和号，我们在后续的讨论中将采用爱因斯坦求和约定。在该约定下，上述线长可写成更加简洁的形式

对上式积分可得广义相对论里四维弯曲时空流形上任意两点间的长度公式并可将其写成如下作用量泛函的形式

其中λ是个非零的仿射参数，是与作用量s对应的拉格朗日量。依据作用量原理，广义相对论里自由粒子走的路径取该作用量泛函s的极值。但考虑到根号形式的拉格朗日量在数学上不容易处理，所以我们转而将其平方

并由此构建出一个等价的新作用量S

所以现在要取这个新作用量泛函S的极值。这在数学上等价于令S的变分是0

由此自动给出粒子运动的欧拉-拉格朗日方程

代入之前给出的广义相对论里L的具体表达式

这就是广义相对论里自由粒子的运动方程，叫作“测地线方程”。当然我们亦可对的显式表达式直接变分从而得出与上述完全相同的测地线方程，即

可把上式中括号里的结构用一个紧凑的记号Γ来表述

叫作与度规适配的“联络”。从该联络的表达式容易看出其关于两个下标对称。所以利用联络记号，测地线方程可表述成如下更加简洁紧凑的形式

我们亦可从平行移动的角度导出上述测地线方程：对切矢（物理上对应流形切空间的速度4-矢）的平行移动可直接给出测地线方程。这意味着沿测地线对切矢的协变方向导数恒为0

上式中的协变导数可展开成普通导数与联络修正项之和（在下一节中会详细说明为什么需要联络这个修正项）

化简整理后得到了与之前用作用量原理相同形式的测地线方程

为进一步确定上式中联络的具体表达式，我们必须使用度规与联络间的适配性条件，即对度规的协变导数必须恒为0以使得流形上的度规和引入的联络结构间相互适配

上式中的协变导数可展开成普通导数与两个联络修正项之和

循环置换上式下标θ、μ、ν给出

由于广义相对论讨论的都是无挠率的联络，所以其关于两下标对称。（注：我们当然可在广义相对论的某些非平庸推广比如爱因斯坦-嘉当一阶形式理论中讨论有挠率的联络。）对上述三式作恰当的线性组合可自动提取出联络

可以发现最终得到了与之前用作用量原理完全相同的联络表达式。所以这意味着作用量原理和平行移动这两种看似不同的方法和出发点最终给出了相互自洽的结论。所以通过这一节的内容我们了解到：一旦给定了流形上的度规，我们就可以利用上式提取出与该度规相适配的联络。在下一节中，我们将进一步探究联络在坐标变换下的变换规律以及由联络导出的黎曼曲率张量分量在坐标变换下的变换规则。我们将发现：与联络不同的是，黎曼曲率张量的各分量在坐标变换下具有非常良好的变换性质（广义协变性）。对黎曼曲率张量做恰当缩并（可看成是黎曼曲率张量的某种平均）后给出的里奇张量和里奇标量也将成为真正进入到爱因斯坦场方程的关键组件。

联络及黎曼曲率张量分量在坐标变换下的变换规则

黎曼曲率由沿两个不同方向 和 间协变导数的对易子定义

它反映的是时空流形在某点附近邻域（无穷小区域内）与坐标选取无关的某种内蕴曲率，物理上对应潮汐力。为了说明该曲率的内蕴性，我们只需说明黎曼曲率各分量在坐标变换下满足正确的张量分量的变换规则。而由于黎曼曲率是由协变导数算符的对易子定义的，所以我们先来分析普通导数算符和协变导数算符作用在某矢量上在坐标变换下的变换规律。在坐标变换下，矢量的普通导数变换成

由于上述方程右端最后一项的存在导致

所以普通导数算符并不是一个定义在弯曲流形上性质良好的算符，因为它作用在矢量上的结果并不再构成张量（其分量在坐标变换下不满足张量分量的变换规则）。所以为了构造一个恰当的满足张量分量变换规则的性质良好的“导数算符”，我们必须把普通导数算符添上一个额外的修正项，它是矢量本身4个分量的某种线性组合，组合（权重）系数叫作“联络”

这种在流形上新定义出的“导数”叫作“协变导数”。为了保持张量属性，我们要求在坐标变换下，矢量的协变导数满足如下性质良好的张量分量的变换规则

另一方面，我们可直接利用协变导数的定义及之前已求出的去显式计算矢量协变导数的结果

上述表达式理应退化到如下公式以使得从两种不同方式出发得出的协变导数在坐标变换下的变换规律相互自洽，即满足张量分量的变换规则

而这一自洽性要求将自动给出之前新引进的修正项里联络各分量在坐标变换下的变换规则

从上式可发现：由于上述方程右端第二项的存在，联络各分量并不服从张量的变换规则。所以这意味着联络本身并不是张量！或者说，联络这个对象本身是个依赖于坐标系选取的量。尽管如此，它依然是广义相对论里非常重要的东西，因为以它为基本组件构造出的新的定义在流形上的“导数”运算 ----- 协变导数此时在坐标变换下具有非常良好的变换性质，即满足张量分量的变换规则。为了验证此时的协变导数的确服从张量分量的变换规则，可将上述得出的联络分量的变换规则重新代入坐标变换下协变导数的定义式

从上述验证中不难看出：与普通导数不同的是，经过联络修正项提升成的协变导数确实是个性质良好的保持张量属性的算符，即在坐标变换下满足张量分量的变换规则。我们在广义相对论中必须采用协变导数算符，因为只有它才能保证得到的物理方程（一般以微分方程的形式展现）是张量方程，自动满足广义协变原理的根本要求！现在有了协变导数在坐标变换下的变换规则，我们容易推导出由协变导数对易子所构成的黎曼曲率各分量在坐标变换下的变换规则

从上述推导中不难发现：黎曼曲率这个几何量是个张量，其分量服从正确的张量分量的变换规则。这也就证明了该曲率的内蕴性，即黎曼曲率这个对象本身是个与坐标选取无关的量。为了给之后的内容做铺垫，我们不妨在这里同时给出由黎曼曲率张量进行恰当缩并（可大致视为对黎曼曲率张量做的某种平均）后得到的里奇张量和里奇标量在坐标变换下的变换规律。其中里奇张量是黎曼曲率张量缩并一次后的结果，其分量在坐标变换下的变换规律容易从上述黎曼曲率张量各分量在坐标变换下的变换规律直接导出

相应地，里奇标量是上述里奇张量再缩并一次后的结果，也就是黎曼曲率张量缩并两次后的结果。其大致可视为里奇张量的迹。里奇标量在坐标变换下的变换规律也很容易从上述里奇张量各分量在坐标变换下的变换规律直接导出

从上述推导可发现：里奇标量是个坐标变换下的不变量，具有极为重要的意义（值得注意的是：黎曼曲率张量及里奇张量各分量只是在坐标变换下协变，满足良好的变换关系，即满足所谓广义协变原理的要求，但它们并不像里奇标量那样直接就是坐标变换下的不变量！）。这个里奇标量将在后续的讨论中直接进入广义相对论的作用量（即所谓的“爱因斯坦-希尔伯特作用量”）帮助我们导出经典引力场的运动方程 ----- 爱因斯坦场方程。现在让我们回到最一开始以协变导数对易子定义的黎曼曲率张量的方程

展开上述对易子

利用定义将协变导数表示成普通导数和联络修正项之和

化简整理后可得黎曼曲率张量的表达式

为了更明显地展现出上述黎曼曲率张量的数学结构，可采用如下方式重新组织黎曼曲率张量的上下标为类似于矩阵方程的形式

注意这里的Rμν并不是之前提到的里奇张量，而只是用来呈现黎曼曲率张量内在数学结构的一个象征性的记号而已。从上式中可以清晰地看出方程右手边的头两项是联络的线性表达式，基本上对应联络的旋度；而方程右手边最后一项是沿 和 两方向上联络的对易子，它是关于联络的非线性（二次）表达式。这种数学结构在现代微分几何及纤维丛理论中具有非常广泛的普适性！我们将在下面对规范理论的讨论中看到几乎完全类似的数学结构再次出现。