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完美洗牌的秘密（十一）——反完美洗牌定理的应用五（茫茫人海魔术扩展版）
完美洗牌的秘密（七）——反完美洗牌定理的应用一（指引巴格拉斯效果）
完美洗牌的秘密（六）——完美洗牌定理的应用（penehole's principle magic more等）
今天我们继续围绕anti faro操作，来看看还有什么新的理解和用法。
三叠发牌巴格拉斯效果
视频1 三叠发牌巴格拉斯效果
这个魔术原版出自马丁加德纳趣味数学全集，印象中英国女王学院那几个数学老师也表演过类似作品。很遗憾我是几近先生去世时，从一年一度在世界各地举办的马丁加德纳聚会中才了解到这位趣味数学的巨匠的。和前面提到的数学魔术师打消了我关于到底有没有数学魔术结合的这个领域一样，马丁加德纳的成就也打消了我的疑虑：原来趣味数学，那些谜题，数学魔术，游戏，也是可以登上大雅之堂的。
在马丁加德纳给《科学美国人》杂志上开设了一个趣味数学专栏20余年，最后被人们重新总结称为了十几本著作全集，他和很多真正的数学家都是好朋友。其一个重大贡献就是他有一种魔力能把那些最前沿的数学介绍给普通大众，吸引着成千上万的人进入数学的殿堂。比如著名的RSA算法，Gilbreath Principle，包括完美洗牌的诸多结论，在他的作品中都有涉及。本文关于完美洗牌，尤其是第二定理的内容，也大量参考了他的作品。
今天这里想给大家介绍的这个原来只有27张牌的魔术，严格来讲和完美洗牌，甚至二进制，都没有什么关系，因为本质上它是个3进制操作相关的魔术。但是，它却把我们研究的内容，从完美洗牌，拓展到逆完美洗牌，再拓展到前面我们提过的n叠依次发牌，以及对应的三进制等更高进制下，统一的运算规律。最后自然也少不了魔术化的重新包装，快来看看吧！
数学原理
在我还很小的时候，忘了是谁教给我了一个用21张牌来表演的魔术，当时还特意强调，这里不要用27张这样特殊的数字，而是应该用少一点的21张，几乎不会察觉地牺牲一点效果强度，但是减少了很多不必要的怀疑。这个魔术我们在《编码通信与魔术初步（五）——编码通信魔术入门《3 * 7的感应》》这个章节里已经和大家聊过了，是从通信的角度来说的。
而今天这个作品我们脱胎于前面介绍的完美洗牌和二进制的运算，看看在一次发牌这种逆完美洗牌和更高进制数的运算上，有着怎样的秘密。
首先我们知道，发出来的牌一共是27张，这刚好是所有3 ^ 3，也就是所有三进制三位以内数的个数。我们一共3次执行了那个发牌加收起的操作，应该是一个重点的操作单元。而这个过程中，能够被魔术师暗中控制的，是收牌叠的顺序。显然这些顺序里，能影响选牌位置的，就只有选牌在第几叠被收走，而这个信息恰好因为观众指出了选牌所在叠，可以做得到。
接下来我们看看，这一次操作意味着什么。
假设选牌的初始位置是p0（索引从0开始，最大为26），那么经过一次发牌，其所在牌叠的索引为p0(mod 3)（牌叠索引从0开始，最大为2），其位置为：[p0 / 3]，这里取整也可以用带余除法的商来表示。
假设第一次收起时，将p0所在牌叠于第D1叠收起（0 <= D1 <= 2），那么，这时它在整叠牌中的位置为：
p1 = D1 * 9 + [p0 / 3]
然后这样的事情被做了三次：
p2 = D2 * 9 + [p1 / 3]
p3 = D3 * 9 + [p2 / 3]
看起来平平无奇，一些基本的乘法和除法以及取整的运算而已，如果仔细算算，也许可以推导出最终位置和每次放置叠数以及初始位置的关系的。
但数学怎么能这么丑陋？而且，如果最后的位置还和初始位置有关系，那还玩个鬼，岂不是最后的位置是初始的那个未知变量的函数了，怎么能保证魔术能够成功呢？
放心，人类研发了这么多数学工具，从来不会让我们失望的。我们不妨重新来看一下上面的式子。乘以9在三进制数中间不就意味着将个位数D1左移两位移到第三位吗？而除以3的取整，不就恰好是三进制数右移一位，且刚好表达了各位被舍弃的情况吗？
所以这两个运算合起来是啥意思？是把原来那个3位3进制数p0，右移一位后并在第3位补上的D1的值！
有没有一点循环移位并且逐渐往里面塞数，然后直到把原来的数的每一位的痕迹全部抹除，最后达到自己想要的位置的感觉了？
还不清楚？设p0 = A1A2A3，则
p1 = D1A1A2
p2 = D2D1A1
p3 = D3D2D1
所以，我们最后时刻该扑克牌的位置索引p3，和其初始位置p0已经没有了任何关系。而且，其结果就是又三次放置的牌叠索引逆序构成的3位三进制数！
换句话说，我们只需要计算出观众给出1~27数值减1的三进制表达（观众的索引从1开始，我们的从0开始），然后依次在3次操作中把选牌所在牌叠放置在改表达对应的1,2,3位的3进制表达的位值上，最后的结果就即为所求了。
看到这里，其实这里的思路和《洗牌巴格拉斯》（见《完美洗牌的秘密（六）——完美洗牌定理的应用（penehole's principle magic more等）》）里面不断通过左移来达成特定位置的方式就有相通之处了。只不过这里是右移，信息位从最高位移入，因此最先移入的是最低位，然后变高，和那个魔术正好相反（所以是反完美洗牌的应用嘛！）。另外，这里是三进制数，操作也是三叠的发牌。这也可以看作是前面《指引巴格拉斯》和《感应奇迹》两个作品的扩展版本，因为它同样利用的是不断地进行anti faro shuffle类似的三叠版本来达成不断的右移操作并引入顶位，使得选牌位置再也没有原始痕迹而全部脱胎换骨成需要的位置！
不过，略有不同的是，《指引巴格拉斯》和《感应奇迹》以及《anti faro的奇迹》，都是有指引牌作为位置引子，因此最后目标牌的位置都是指引牌原始位置的函数。而这里是没有指引牌，是直接根据目标位置强行去逐步移位以达成目标。当然唯一需要的就是目标值对应的进制表达，以此对任何牌，不需要考虑所谓和指引牌的关系，就能达成目标位置结果。
魔术原理
这个魔术的原版就是用27张牌表演的，严格来说，从魔术的角度这并不是一个合格的作品（我在数学魔术书里经常要面对这样的东西）。无论是27张数量选择很奇怪，以及整个这些操作的过程都显得毫无道理，完全就是数学操作了。于是这两个缺点，我们必须还得用魔术方法来克服：
1. 27这个数可真是太巧了，别去想什么它和3进制的关系，它恰好是牌叠张数的一半啊！也就是说，其实我们可以很容易就做到把牌控制在1~54张，可以带大小王的任意位置，其中差的这个27张的半叠不就相当于最高位的二进制位，或者最大值为1的三进制位吗？选择要不要加上剩余牌叠于其上就好了。（没必要采用顶底的数法，反过来数总是奇怪的，而且完全不必要，也没有增强效果的好处。）
2. 这个三次发牌的过程其实可以给人仅有两次的印象，第一次发牌是确认观众的牌还在，不算，然后最后一次收牌是不计入的。而剩下的两次操作，也需要给与一些台词来包装，使得过程能够轻松愉快一些。
综上，我给出了我的三叠发牌巴格拉斯效果的表演。虽然在魔术本身上，它并没有比一些已有的效果强多少。但是，在体现数学之美上，这些魔术都太棒了！
好了，反完美洗牌的魔术应用和扩展一共5个类别，6篇，7个魔术，到这里就告一段落了，不过我们完美洗牌的好戏，也才刚刚开始，下期见！
精彩抢先看！
视频2 16张的Anti faro周期魔术
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