CATO原理中的数学与魔术（十三）——综合应用

1. 3个4张牌叠的顶底差为3，其任意翻面后的可能和的范围是16, 19, 22, 25。而根据二项式定理和古典概型，达成全部最小或最大的16和25，其概率只有1 / 8，因此可以认为大概率观众随意翻转的结果会停在19和22这两个可行解上。而且根据特定的翻面数量，其奇偶性可以确定能被翻面的牌张数的奇偶性。但这不是最主要的，因为当出现16/25的时候，要求观众随意翻1次就行了，这样的加和结果变化值是常量3，并达成目标。

2. 19和22两个选择的覆盖，采用的是桌面翻转放置发牌法，即正面向上放置，如果是19直接发，22则反过来，而把选牌置于倒数第19张，一共19 + 22 - 1 + 12 = 52张的方法用个简单的关键牌就行，记得去掉大小王。显然，这里用19和22是根据取走12张牌后倒推来的。

3. Q是一开始riffle shuffle强选的，接下去就是3组4张牌的牌组，共12张，翻开第一张后，其第3张的Q刚好进入单独成为一个集合的CATOQERQV性质结果。这也是Baby Hummer系列中介绍的《骗数》魔术所引用的方法，在另一个效果的掩护下，在几乎无痕的条件下，完成了需要的CATOQERQV性质的setting。

4. 中间的CATOQERQV保持操作参考Royal Hummer的三部曲，由于有4张Q的梗，因此自然地使用4叠翻煎饼操作，作为转为等价的进入ERQV(O)的操作作为结尾。

你看，以CATO原理作为其中重要要素之一，补充其他原理效果一起，看起来就是一个丰富饱满的魔术作品了。

缘分天使

视频2 缘分天使

这个作品来自广州著名魔术师Carson的一个发明，在和他讨论《Mathematical card trick》一书的概率部分的章节时他的一个小点子，非常棒。其基本的原理和Royal Hummer是相同的，即关注其中一个集合的值。而这里结合的创新点在于：

1. 对子的存在竟然是随机的，10张牌（也可以12张，更保险），根据生日概率模型，存在配对牌的概率是很大的，因此基本可以当作一个确定性发生的事件。发生了就是奇迹，没发生再想办法补足就是了，比如再补4张到14张，根据鸽笼原理，成了一定有至少一对了。

2. 这里，魔术师选择不超过2对，采用Royal Hummer的进入策略置为单个集合，如果只有1对那就是单独的。这里2对的情况下，因为其循环序列的可能，只有aabb和abab两种，其他的都因为周期性，首位等价性而重合掉了。因此，我们原本是个集合的效果，展现出来要么是配对的牌相邻KMP，要么是呈现2-cycle的结构，这简直是量变到质变的典范！当牌张数足够少，一些原本不起眼的性质就会呈现出奇妙的效果！而你若是不学数学，那就等着尖叫吧！

以上这两个魔术都有一定概率魔术的影子，我们后面再找专门的系列来讲，这里不再展开。

3 or 8

视频3 3 or 8

在《文字对称中的数学与魔术（四）——魔术《3 or 8》》中，已经以文字对称主题介绍过这个作品，CATO只是作为辅助原理带过了。不过今天有了CATO原理的数学模型后，对那个6543和543操作显然是理解更加深入了。而其基本结构，和Royal Hummer也是完全相同的。除了牌张数因为较少较特殊而采用特殊操作进入CATOQERQV状态外，其他操作都完全相同。

甚至，其folding操作，是不是很像把一张8折叠起来变成两张3的样子？所以，这个作品里不仅结合了数字对称的梗，而且folding过程也有讲究了，我已经折起来剪掉了分开成两张3了，那这张写着的8，也要folding剪开。奇迹啊，这么无聊的操作，居然都能找出表面可行的理由！

20张的占卜

视频4 20张的占卜

这个魔术早在《Gilbreath原理中的数学与魔术（七）——Ultimate Gilbreath原理深度应用魔术《20张的占卜术》等》中就聊到过，其中的CATO部分只是作为一个非常辅助的部分，作为最后一个效果来补充呈现的。不过，那个魔术，无论从一开始setting的设计，状态的变化，gilbreath和CATO原理的使用，都堪称状态变化模型下的数学魔术的典范。

其中CATO部分的进入过程是这样的。经过Gilbreath选择后，原本两个相等的集合的两个拷贝各被拿走一部分，还剩下一个完整的集合分散在两叠牌的顶底端。而除了选走的集合性质的两个Gilreath操作的牌叠，剩下的部分依旧每个小叠都遵循着原CATO性质。而且因为其中一叠是另一叠的count，因此再count上去就对了。另外，它们之间的反向，也只是相当于做了一次顶部偶数翻转而已，这是典型的CATOQERQV保持操作！所以，在一套作品里，不仅Gilbreath性质保持住，而且不矛盾地还保持了CATOQERQV，这种极致的融合，正是数学魔术最大的魅力！

好了，本系列的魔术部分到这里就全部结束了，不知道大家看得是否过瘾。最后还剩下一篇，总结从CATO出发的一些魔术设计思路的提升，敬请期待！

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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