2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛中的数列题解析（分析与方程方向第4题）

教育 2024-07-05 18:09 广东

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上周给大家聊了一道有LLM背景的阿里数赛题，详情请戳：

2023阿里巴巴全球数学竞赛决赛中的LLM背景题解析（应用与计算数学部分第2题）

看起来大家还比较喜欢看这种具体问题求解和思路分享的文章。那这周趁热打铁，继续讲一道来自2024阿赛决赛的试题：

本题是分析与方程方向的第4题，也是网传的决赛中非纯数专业学生看懂门槛最低的一道题，也是解答相对容易的一题，难度也在考验数学的范围内而已。有趣的是，在2023年的竞赛中，分析与方程第1题就为此题中a1=2/5时来证明an<1。这恐怕是间隔时间最长的一题的两个小问了吧，不知道是早就出好了一次放一点点，还是某些研究方向上真的在这里突破了才有的。

这道题是整个决赛为数不多的像数学考试题但达不到数学研究层级的题目。但是，哪怕是这道题，从考试层面看，其思维形成的过程之艰难，对基本功扎实掌握基础上的那种合乎逻辑但又讲不清道理的数学联想能力的要求，实在是高到令一般学生感到绝望。

我们先看解答，再分析。

实话说，我在花了一些时间得到一些基本方向后，还是没能完全证明通，也不知道是哪个高人还是出题者本身流出了这个版本的解答成为了其他各大博主的讲解标准。

在看完这个标准解答以后，我甚至一度有一种无力感：因为我知道我看懂了，但下次再来一个题，我没有任何把握能再搞出它来。一个人到底要经过怎样的学习和训练，才能在下一次遇到类似问题，也能摸索出答案呢？小到数学题大到数学研究，真的就是一场逻辑严谨的智力游戏而已，游戏之上，真的就和其他艺术一样靠灵感、靠感觉，而很难像计算机科学中的一般算法问题那样，是有基本的逻辑套路可以批量理解并执行的？

又或者，只有那些说不清道不明的事情，才有可能和当今AI稍微抗衡一下，甚至在围棋等领域都被打得一塌糊涂被证明这些思考都是自以为是。而如果都能写出具体执行逻辑了，那这个具体过程就要像四则运算交给计算器一样，似乎也不用学习和掌握了。

那有没有可能有一天，我们引以为傲的数学，也被AI证明，其实和围棋家们研究的玄学一样，也是自我感觉良好罢了？

又或者，谁不知道自己的愚蠢呢，谁也没想去穷尽这个世界的真理，活好自己的一生，在地球的人类组织里博弈出一个有利自己的位置，便是上帝的基因游戏所给与的唯一目标罢了。

我们回到这道题，关于如何从一道题入手，去思考分析其中的原理，去泛化出一些可迁移的经验，我在《一道北大强基题背后的故事（七）——特征根公式的来龙去脉》系列中有详细论述。即，解数学题本质上是构建一条从已知假设到结论的逻辑链条，其中链条的每一个环节只能是承认的公理和已经被证明过的定理，本质上是个路径规划问题。现在我们用类似的思路分析一下这题。

做问题一般可以从条件和结论分别出发，看分别有什么线索，能否走到一起。

条件：数列递推关系式，但并非标准的可求特征根的一次线性式，无法直接求出通项公式；另外，等式左右出现相邻两项且系数相同，因此可能实际上给的定义是围绕差分序列的，求和结果才是an的需要累加/累乘的形式；而且，累的对象可能不直接是an，有可能有1 / an等各种变形形式，需要等价变形尝试才知道；至于目标形式外多出来的部分，都当作不等式放缩用。另外，当an^2项没有而是1的话，这个极限是经典的巴塞尔问题的结果。

这些是仅仅拿到这个an定义下，就一般的数学题解题经验可以联想到的一般方向，也都是常见的具有泛化性的思路，我认为也都在可掌握范围内。但是有这么点想法还远远解不了题目。

结论：证明数列的极限存在并有限。首先是数列极限的定义，用epslon-dirta语言描述，注意和函数极限完全是两个基本形式，前者是当n>N，后者是|x-x0| < epslon为条件下对极限值的靠近。要用定义证明一般得先知道极限值，再各种拼凑构造找出证明过程。另一类方法则是基于实数完备性的单调有界定理和Cauchy收敛准则，前者只需要证明单调和有界，后者则仍然基于epslon-dirta语言，只不过专门为求和级数设计。

思路：在如此简单的条件和结论陈述中，我们就可以开始进行连接尝试了。这里想到用单调有界定理证明极限是比较自然的，因为根据递推式子的形式，就是个级数形式再加一项，显然an都为正而且递增。所以我们只需要找到一个界就好了。这个界甚至可以很大而不需要是确界，但只要是有限的和n无关的数就行了。

如果你不能一开始就找准这个方向而去想极限定义，Cauchy收敛准则等方法，确实容易绕路。但这个层级的灵感，还真是抽象，还真得是天赋和灵感。我相信AI暂时还没摸透它，但估算和尝试再尝试，又是难以避免的。

接着就是数学里常见的归纳思路，从特殊到一般。即，我们需要找到这个界可能是多少，才去常识证明，证不出来或证出来不对，再回头检查调整。

这里有点像计算机的回溯算法了，因为状态初始是无法看到全貌这条路是否走通的，因此试错是正常过程，一次走对迷宫也只是运气好罢了。只不过因为时间有限，大脑会有很多短链接一样的快速解的过滤筛选，有时效率还挺不错，但唯一就是容易付出出错漏解的代价，对于规模化，结构化的问题，也需要结合结构来搜索。

我们取边界a1=0，1来看看，发现an = 0，n，因为a1!=1，所以不会真的an=n就发散了。也很容易看出，an关于a1和n都是单调的（数学归纳法可严格证明，直觉也应该想到这个结论）。因此，an如果真的有极限，极限值一定是a1的函数，而不是固定数，且这个函数递增，从0到无穷。

这种归纳思想应该是数学留下的思维方法的精华之一了，是要掌握的核心的一部分。一个典型的例子是欧拉用有限的多项式的方法错误证明了巴塞尔问题，虽然不严谨，但提供了一种很好地分析问题的直观思路，值得借鉴。

另外，这个上界是可以有很多个的，这时候就看能否构造一个足够大而能够证明的即可。如果这时候有人能直接给我把这个关于a1的上界确函数给写出来了，我只能直接放弃努力了，我是凡人，我要回家。

到这里关于结论的线索再往多了写要不就是你编的题要不就是偷看答案了，就像知道了魔术秘密在解密一样，一点也不厉害。虽然可以想象一些如反比例函数，甚至对钩函数等一般函数的形式，但实在是太散乱，不好再无目标的尝试下去，只能回头去找条件了。

解题经验说，题目条件往往都有一种看起来简洁，实际上是经过特殊化简隐藏了原始形式的特点的，不要被这表面的简洁所迷惑，它不是最好处理的形式。这里就靠猜和准确率高地推导来比拼谁有更高可能更快找到方向了。比如常见的1/an的差分形式的取得，但发现两边除以an+1*an没法消去1/n^2上的an/an+1的冗余项。再试试通分和提取公因式呢？结果右边终于看到了(a-b) /ab的形式，于是总算把式子化成了差分1/an=1/（n ^ 2 + an）的简洁形式，做完累加后就可以得到1/an的只多出一项an在分母处的巴塞尔问题的结果。

我想很难有人可以瞬间知道化简方向，甚至在解出来前，都很难判断写成这个形式一定是对的，只能从大小，简洁，和目标形式上接近等很主观的角度去判断和猜测，这些都是估算的。这些才是建立在逻辑基础上的数学最难的部分，就像看懂答案和想到答案之间的差距那么大。

到这里自然想到对着巴塞尔问题先放缩一把试试。还真行，但是却因为有可能1/a1<pi^2/6使得右边为负而使得这个范围的a1没法证明，相当于只能证明[0, 1)的到0.6多的一半左右，倒是可以拿一部分分但还没有彻底搞透。

接下来，得想办法不能把an直接放缩成0，而是得给一个关于n的不等式，这样才不至于在a1比较小的时候把不等号右边给搞负了。而且，这个像巴塞尔问题的项要依旧可以用比如放缩为列项为差分而求出值来。比如an>n的话，那直接就有了。但这显然不对，因此还得找一些项，把n搞小一点，能够保持好裂项，同时初始时候要接近n使得放缩可控，后面倒是可以越来越松，反正值已经很小了。

于是才有了an>n-n(n + 1)f(a1)的结构想法，这样，才基本凑出最后要证明的等式中，f(a1)=(1 - a1)/2了。

当然，这个式子也可以正向从条件里推出来，那就是如解答中构造的bn=n-an，bn式子中，可以发现累乘项放缩后的消去，居然就真能推出最后题目所求。

好了。我已经快编不下去了，一个正常人怎么可能一次性想到这些，每一步猜中方向走出迷宫？我很难相信，有任何人能在有限的时间内尝试有限次数来找到正确的方向来解答，除非这个谜题就是你自己出的。所以为什么说解题能力做不得半点假呢？你的估计策略方向，计算准确度，速度，都直接决定了你的解题命中率，也就是得分EV。有点波动运气因素，但真是实打实考验你某个球到底投不投的中一样的直白。

反过来我之前在《一道北大强基题背后的故事（七）——特征根公式的来龙去脉》系列里也尝试分析过一道题的由来。如果真说不出个所以然来，考察某方面通识性、公认的数学思想或知识，这种构造的野题怪题就像没有精心设计的垃圾数学游戏一样，只会把思维带进牛角尖还落得自我怀疑。这题逻辑链条的搜索空间不大，都在正常的推导、构造和计算量内，是很好的考察能力的题。而方向的猜测，把控，耐心，细节（比如不等式两边要同号才能取倒数，容易漏条件）的考验不是一般的大，能短时间搞定的，真是天才。

这些年，我越来越喜欢用更抽象的模型来回看我学过的各种数学物理等知识，越发觉得，这种抽象的能力还真得日积月累很多很多年才在孜孜不倦的思考中逐渐习得，快不得的。一开始没有能力的时候只能是尽量记忆，甚至死记硬背就能获得优势。不过一定要赶上抽象的步伐，最终变成能泛化的抽象部分，深度思考就是这一发展的原动力。根据答案模拟逻辑路径的思考过程，这样才有可能逐渐成为有灵感的人。而千万别被老师的讲解所带偏了，就像魔术的揭秘能看懂和你自己分析出秘密，你对其理解能力，肯定差了十万八千里；也千万别被所谓的显然，应该这么想给骗了，可能没人能一次性这么想到过，没有人的，上帝来了也得回溯。

想到这里，不禁还是会问，数学有什么用呢？好像还真没有哪个实际领域要用到这么刁钻的角度去做事，不过，这个数学训练留下的联想、估算、猜测、验证、回溯、复盘、逻辑等等思维模式和习惯，你可能不仔细想你都低估了它在我们处理生活中大小事的作用。不过，如果是过拟合习得了钻牛牛角尖的能力的话，那就过头了。

当然，就这些数学题本身，确实可以理解成吃饱了没事做的游戏罢了，但这游戏所能在脑子里留下的思维痕迹，路径所积累出的思考其他问题的状态价值，那就无可限量了。

我也暂时相信，数学，除非有更高级的数学模型，AI，还搞不定它。

下期见。

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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