CATO原理中的数学与魔术（十一）——Parity Principle及其应用二：集合的可视化

教育 2024-05-31 18:08 广东

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上篇文章中，我们已经进入了CATO原理魔术介绍的深水区，是第3个系列Parity Principle中集合性质的章节，聊到了关于张数和求和集合性质，并对性质之间的偏序关系，性质之间的转化操作的含义有了更深入的剖析，详情请戳：

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CATO原理中的数学与魔术（十）——Parity Principle及其应用一：集合的基本性质

CATO原理中的数学与魔术（九）——Royal Hummer 及其进阶二

CATO原理中的数学与魔术（八）——Royal Hummer及进阶一

CATO原理中的数学与魔术（七）——Baby Hummer的拓展二

CATO原理中的数学与魔术（六）——Baby Hummer的拓展一

CATO原理中的数学与魔术（五）——Baby Hummer

CATO原理中的数学与魔术（四）——群论视角

CATO原理中的数学与魔术（三）——性质保持和转化操作集

CATO原理中的数学与魔术（二）——数学模型

CATO原理中的数学与魔术（一）——经典回顾

今天我们接着上一讲，来看看集合性质，还能玩出什么花样来。

My Predictable Parity

先看视频。

视频1 My Predictable Parity

这个魔术原版来自MAA上的文章（前面dead parity sketch也是），那里介绍的方法是以24张单向牌叠开场，其CATOQD性质刚好是两个大小为12的集合，于是自然可以转为ERQV(O)性质去实现它。为了让它看起来不那么奇怪，会提前在背后翻过来第一张（已经知道朝向），这样就能够预测出13这样看起来自然一点的数了。这个原理和《3517A》中的35部分的原理一样，都是要两个相等大小的集合作为起点，才能得到唯一的移动一张的张数集合结果，只不过那里是ERQV(O)，这里是CATOQERQV。

不过仅仅是个张数的预言或感应，作为魔术而言太弱了，顶多做个铺垫。前面说过，整个集合的性质都能用，那何不把它加强为一个更强的自由巧合效果呢？也别做加法这种隔靴搔痒了，能不能直接把我能区分出这两个特定的牌的集合作为商集结果呈现给观众看？

即，集合如何变得一目了然？

回忆一下集合的表示方法，根据分离公理，才有了描述法的集合表示{x in X | p(x)}，简单来说，集合是全集上的性质的函数。而只有性质是天然可以直接观测的，那么作为扑克牌张，像位置和朝向都是变化的，附着在牌叠上，非牌本身的性质，那牌张有什么二元性质也能构成和CATOQ一样的对应呢？奇偶，颜色，大小7上下，是否质数等等，其中除了颜色以外，都是需要大脑进行数学运算抽象反映才能感受的，唯有红黑两个颜色，一片过去，是更轻松的能感知到一片一致性质海洋的感觉的！因此，我们直接构造CATOQERQV的集合结果刚好也是ERQV(Color)的结果，做到了和显式的牌值联动了！那么初始化时，只需要同向，再同色的放在奇偶相同的地方即为所求，这一点也是magical mathematics在介绍Royal Hummer时候提到的推论，和Red-black separation principle结合起来，刚好可以得到Parity Principle的结论。因为颜色随着牌张走是不会变的，因此只要CATOQERQV性质保持，这个相等对应关系就保持了，即最终，朝向性质和颜色性质这两个简单的二元属性得到了同样的商集，这就成为一个强大的魔术效果了。如果在这之前还因为数数感应而分开了，那就彻底的是两个分离牌叠集合的分离效果了，更加震撼！

而在表演上，有两点借鉴，其一是，这里CATOQ状态是直接存在的，以一个暗交代方式存在，不存在转化操作引起怀疑，而转出操作以摸索感应的借口在背后暗中完成了，于是加强效果的故事同时，完成了一个能隐藏的必要工作，也是非常巧妙的设计，使得CATO原理的生硬操作变得微乎其微；其二是先感应常数张数，再加上巧合的分离，本来一个常量集合结果，分别用感应和巧合的方式呈现，在看起来弱化的效果上却形成了递进，而且背面的那一叠还有延迟展示的功效，实在是节奏巧妙！

以上表演方式，也借鉴自David Rogal出的CATO principle的教学中在魔术城堡的表演，改为18张也是认为比较合适的借鉴。

至于张数是一半的问题，要加上颜色的话，确实要跟着改变，那么一开始一张黑色换红色，其朝向也要跟着变过来，倒是可以以示例的方式完成它，类似《Baby Hummer》的setting，反正就setting一张，刚好可行。接着再让观众自己执行的就和《dead parity sketch》一样，就最简单的CATO过程即可，Royal Hummer里面的3次递进适合在魔术师手上做，更安全也有递进来弥补。

这里为了让黑色8，红色10，等价于其中一张红色牌处在了黑色位置，需要翻面才行，于是刚好作为示例使用，而前面的2张切牌也不该变什么，刚好这么切则看起来还可以隐藏一点红黑间隔的起始setting。而且最后为了让更少的牌背面向上，即黑色8张，那么在拿到背后前的一瞬间，相位也要调整好，即看到的颜色来决定是否那一张翻转，黑色就不翻了，红色翻即可。

当然，对集合的应用还可以更厉害，参考《乱七八糟》的shuffle bored呈现就好了，可谓是把一个集合的各种情况说得淋漓尽致了。不过本作不走那个路线，也就没必要画蛇添足了。一个是因为牌张数不够，不足以支撑那么大的效果，另外，这个张数加分离的效果，已经足够适配这个张数，小而美。

那这样的一个通过红黑性质完成的集合可视化，还能够用来表达什么样的魔术场景呢？

接着看！

终极油和水

先看视频。

视频2 终极油和水

此作品出自英国女王学院的数学魔术教学系列。说实话，第一次看到这个作品，因为对各种性质的表达，转化关系，进入CATO，出来CATO等不甚熟悉，有时候操作起来并不得其原理要领，因此自己都被震撼了好几次。因为从油和水的角度讲，能这么随便洗牌，翻转，这几乎是头一个。

但实际上这里有一点不同，那就是这边呈现的是朝向分离，而不是油和水的颜色直接分离。

不过，这不也是颜色等价关系的n-cycle，T = 2，而最终结果则是nKMP。从这个角度，应该能很好理解油和水的性质关系本质了，看上去还是有不少自由度的！

这里的转化过程是，间隔的红黑牌张，n-cycle，同时自然颜色的商集也等于CATOQERQV性质，于是在CATO做保持操作，因为是魔术师自己来，可以用Royal Hummer的3次递进策略。最后也是经典的翻书结果得到所求。

原作是先进入ERQV(O)模式进行洗牌，这并不太好，因为最终的答案会被提前呈现，这是要用到两面两个集合性质区别的结果所特殊的，baby和royal都没这个问题。倒是可以先朝单向，ERQV(O)为单元素集，再依次发牌，根据牌张红黑组合决定翻面情况，像Royal Hummer一对对选择也可以，应该是更好的做法。而直接红黑相间或依次发牌进入CATOQERQV均可，嫌麻烦就前者，加流程拖时间就后者了。

不过大家可以和前面的my predictable parity这个对比一下，数学原理几乎完全相同，但你很难从效果上把它们归为一类。那个是一个有递进结构的感应巧合预言结合的效果，而这个则是单一的油和水的plot！

friend红黑交换

视频3 friend红黑交换

来自steve beam系列作品《semi-automatic card tricks》的vol2，原作看起来仍然有点奇怪，也并没有直接用到CATO原理，不过借鉴那个plot，我倒是把它改成了一个仍然用颜色来可视化集合，同时借鉴了dead parity sketch中，对唯一牌张的不同性质处理的方法，那里是唯一一张翻面，桌底插入，而这里，只是轻描淡写地偷偷换了位置。达成了不仅可视化了一个宏观的集合分离效果，同时，还恰巧找到了观众的选牌！这种巧合和感应的联合效果实在是太棒了，比单纯展示效果的我厉害的感觉好多了，观众有参与感，也有画面感！

其他的原理则和前两个魔术几乎一样，只是选牌的交换成为点睛之笔，瞬间成为一个亮眼而非原理展示的魔术。

这种一开始是同一面的牌叠作为初始状态的，一般就用CATO两个操作交替进行打乱了，取的是把朝向和顺序打乱的意思，因为一开始朝向是不乱的，Dead Parity Sketch（这个因为单元素的关系还不能看）和my Predictable Parity也都是如此，它们的共同结构是观众自行洗乱。当然另外一个使用CATO基本操作的原因是Royal Hummer那套最好魔术师自己可见的情况下操作比较安全，否则就得降级。所以数学就是数学魔术的上限和宝库，根据表演需要去提取使用就是了。

以上就是Parity Principle的相关介绍，还没完，我们下期继续！

精彩抢先看！

视频4 双层4kings折纸

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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