在系列前面的文章中，我们从数学理论到魔术实际，已经讲完了3个CATO原理的魔术系列：baby，Royal Hummer和pairty principle，相关内容请戳：
CATO原理中的数学与魔术（十一）——Parity Principle及其应用二：集合的可视化
以上三个部分基本是CATO原理最重要的部分了。而今天的内容，对于理解CATO原理，以及背后更深的数学结构，是不可或缺的。更关键的是，它创造出来的魔术，竟然也是那般美妙！但是以今天在CATO中所用的牌叠元组模型，一方面可以借鉴其牌叠的表示；另外，因为它要求对牌叠所处的水平位置坐标的奇偶性进行性质建模，因此需要叠加一个平面坐标系的性质。而那里的所谓MAT principle，用CATO原理中的ERQV函数来看，应该就是性质为坐标和的奇偶性和牌张正反面的异或运算结果，以此作为性质构建的等价关系，其等价类构成的商集合即是整个折叠操作中不变的性质。甚至不仅商集不变，每张牌的MATQ值也是不变的，这是MAT principle和CATO有点不同但无所谓的地方。而最终变成O性质展现以后，总还是会有所变化了。而它与CATOQ性质的关系也很简单了，就是坐标奇偶性和牌张位置奇偶性之间的互换。因此，在发牌的时候，如果能够做到这个二元性质的同步变化，那就完全对应过去而成为等价关系了。比如，发牌过程奇偶是交替的，那显然，发牌到相邻上下左右任何位置，奇偶位置和也是交替的，所以这个二元关系的相等或取非关系会一直保持到发完所有的牌，奇数张都可以。而折叠是这个新的MAT性质，即ERQV(MATQ)的保持操作。原因已经很清楚了，无论从奇偶性还是数理逻辑和群操作角度都能解释，但ERQV的提炼才是真正把效果描述清楚的数学结构。魔术方面，它非常惊人地把原版的《4 kings折纸》魔术提升到了全新的自由高度，缘由就是更深刻的数学结构的掌握，一切就水到渠成了。其3步走的表演结构也是类似的，进入采用ERQV(O)，方便setting，但要隐藏，此时可以洗牌，然后用翻转faro gilbreath shuffle快速进入CATOQD状态，三部曲走完，进入转ERQV(MATQ)值性质的发牌操作。然后是进行折叠操作，在ERQV(MATQ)下保持不变，最后因为在同一位置牌叠，ERQV(MAT)性质神奇地直接退化为ERQV(O)性质，称为本作的点睛之笔！你可能发现了，在CATOQERQV转ERQV(O)中，发2叠folding翻书，或者是发4叠翻煎饼，甚至是在shuffle bored中两叠之间翻来翻去，以及《4 kings folding》中的依次发牌，本质上都是进入的ERQV(MAT)性质，只不过都受到了几乎完全的限定，没有释放出其自由性。而本作则完美地体现了这个自由性，把这个转化到MAT，以及MAT内的折叠联合一起，变成一个奇迹。而且，这玩意，越看，越像是Royal Hummer的豪华结尾版。顺便再说一句，Mat的一叠状态，是ERQV(O)性质，然后又可以gilbreath faro等操作变成ERQV(CATO)状态，再发牌成Mat状态！想玩这个魔术可以一直玩下去！或者直接作为递进的结果接在原《4 Kings折纸》上，连setting怎么连接都给你想好了！首先，4张kings以ERQV(O)性质，存在于牌叠中，被好好隐藏着，现在要以足够自由的方式进入CATOQERQV状态。我们知道，对于长度为2的牌叠，刚好朝向不同表达着相同的性质。因此，我们以双层作为借口，牌叠一分为二，其中一叠暗中翻转（注意此叠要包含3张k，这样背面向上3张挺好，2少了，4太多，达到的方法是，找到一个连续的正n正1反m的序列，最长即可（如果4张挨得太近，需要取次长的，不过尽量避免就是了），置于底部理论上至少有半叠取整长，刚好够了的，用不等式4段和为牌张数就能证明。因为拿走的牌叠刚好在奇数的时候多1张，偶数得全部距离相等才行，不仅要求张数为4n + 4，而且还要恰好均分k，这也太容易打乱了。）。盖第二层的时候甚至可以随便排列，这也本就是CATOQERQV进入时允许的自由度，在《翻煎饼找4Ace》中也有另外方式的体现。更重要的是，进入此CATOQD状态后，原本折叠的plot已经是可行的操作的子集，因为根据偶数翻转合并定理，任何2牌叠可以complete the cut，可以自由选择翻转。这可比折叠强多了，基本可以看作可以把纸张揉成一团了！而且，有前面《4 kings 折纸》的铺垫，我们可以自由摆出K的形状，再折叠，并逐步允许随便跳跃折叠，甚至直接剪下来叠上去！这种感知上的递进带来的震撼是会让人瞬间高潮的！不过到此为止，牌叠依旧属于CATOQD性质，从来没有进入过ERQV(MAT)，它只是长的像而已！而且后面似乎不用再进行hummer shuffle了，因为已经在桌面的偶数翻转合并定理，获得了足够的自由度和终局性，不需要再画蛇添足洗乱它了。而关于奇数的处理，同样借鉴了dead parity sketch中的单张方案，直接从剩余牌堆补一张就好了。如果观众想背面向上，那就是和K集合属性相同，到时候就会和K同时出现；如果是正面向上，就直接隐入尘烟了。而两种说法都有道理成为最终结局，正面的就是要看看然后不足，背面的则是藏起来要找到。而最终依然要通过发2叠再对折的方式呈现最终的ERQVO(O)的最终转化成果。注意这一步在MAT principle中是没有的，因为这压根就是两种性质描述方法呀！刚学的时候也一直犯迷糊，哪怕这全程被我研发下来，一些细节处的描述我也没完全掌握。不过这不影响直觉帮我找到方向，数学的逻辑，再慢慢地补齐，一起进步。这个魔术和刘谦在鹅外惊喜给戚薇表演的魔术有基本一样的原理，呈现了不同的映射罢了。好了，以上就是关于CATO和MAT原理互相转化相关的原理了，这让我们看到，转为ERQV(O)的过程，其实有很多基于MAT的变形。而我们之前用到的，都是给了限制的简单非完全版，当有效果需求的时候，完全都可以再放开。当时，我还曾苦思冥想，既然这性质无非是一堆二元性质作异或运算，再用商集形成的性质。那我多组合几种，比如，用坐标位置和奇偶性，和牌叠内位置奇偶性的亦或，而可以对朝向毫不关心呢？不是不行，就是这些到新性质的操作，以及保持操作并不好找，不够自由，也没有现实中的联想能够自然的让它被使用。不过我并没有放弃这个想法，苦思冥想，夜以继日，直到有一天，上帝让灵感击中我的大脑，创作就是这样的往复循环。![]()
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
