在前面的文章中，我们已经讲了2+2个反完美洗牌的应用了，可以算个微型系统了，其共同特点都是有所谓指引牌来指导完美洗牌的方式，详情请戳：完美洗牌的秘密（八）——反完美洗牌定理的应用二（感应奇迹）
完美洗牌的秘密（七）——反完美洗牌定理的应用一（指引巴格拉斯效果）
完美洗牌的秘密（六）——完美洗牌定理的应用（penehole's principle magic more等）
完美洗牌的秘密（五）——完美洗牌的性质和变体
完美洗牌的秘密（四）——（反）完美洗牌第三定理
但你绝对想不到，这个原理还可以像下面的魔术这么用！这是Australian deal 和anti-faro shuffle的结合，也是原版的一个很小很经济的改版，也是从朋友常天天那里学来改编的，如果有朋友知道原始出处，欢迎指正。本作品原作者是吴如皓老师。他是我自了解数学魔术这个领域以来，站在数学教学岗位做数学魔术最杰出的代表。有幸和他取得了联系，我们相见恨晚，聊了很多平常没法聊到的数学和魔术以及用于教学的方方面面。这个魔术是他在大陆做工作坊以及各类教学表演中的一个及其经典的作品，我经过了简单地魔术包装变成了以下的版本，不仅增添了魔术的味道，而且，数学上也引入了更多的性质。这个魔术一开始是我用来解释完美洗牌第三定理的代表作品了，而我也是从这个作品开始来了解完美洗牌在两张牌间距这件事情上的性质的。不过，和15张牌是奇数，刚好可以应用完美洗牌第三定理不同，这里我们用的牌的张数却是32,48这样的偶数，看起来，完美洗牌第三定理的条件已经不成立了，那么还怎么能应用呢？所谓知识的活学活用，就在于理解和掌握了其模型本质是什么，而不是记下了特殊情况下的表面结论。我们说完美洗牌第三定理的先决条件是奇数张牌，是指的当跨过半叠之间的距离时候，结论能够保持，而如果两张牌一直都处在同一个半叠内，那奇偶性是无所谓的。而到这里发牌的过程其实是逆完美洗牌加上一次count操作(reverse是其数学性质的表达，count或dealing才是扑克牌上的操作)，我们暂且不考虑这个不改变啥东西的count操作，来看看逆完美洗牌里，什么时候，偶数张情况下，我们要的性质也成立。在完美洗牌第三定理里，在同一个半叠进行faro shuffle洗完以后，变成的性质是奇偶性相同的位置索引。它们的二进制表达的尾数都相同，代表其所来自的牌叠的类型，是顶是底，还由out 还是 in faro来决定。于是，我们反过来可以说，如果两张牌的位置之差为偶数，那么这两个索引的奇偶性相同，自然就来自faro shuffle前的同一个牌叠；如果差为奇数，那么奇偶性相反，自然就来自不同的牌叠。而前者是我们可以在偶数张牌的情况下，接着应用完美洗牌第三定理的条件，于是我们给出这个定理的一个推论：对于任意多张牌中位置相距为偶数的两张，经过反完美洗牌以后，其距离缩减为原来的一半。这个性质对应到完美洗牌里可就没那么优雅了，必须要求来自同一个半叠，而这个性质多洗几次就不满足了。但是缩减一半的距离，有可能很多次以后，依旧还是一个偶数！所以过程的逆过程虽然对应存在，可是它们代表的意义却大相径庭，能够应用的性质也是不一样的。因此，在这个魔术里，我们只需要控制好初始的代表魔术师的正面向上的牌，和观众背面向上的牌的初始间隔，那么，后面的规律，就很好掌握了。比如像吴老师最开始的版本中，给定距离为16，那么显然，可以执行到4次anti-faro shuffle，都一直满足距离为偶数的性质。最后使得两张牌相邻，实际就是距离为1，马上就要分属反完美洗牌的两叠了，可是直接变成了最后留下来的两个人，想想就刺激啊！你以为这个魔术就这点内容吗？那就错了，在这个操作中，我们还在中间穿插了好几次切牌，以及过程中的翻转操作。翻转不影响距离绝对值，这个不说了，但是切牌真的没有影响吗？我们不妨分情况来看一下，如果是偶数张2n，偶数绝对序列距离为2d（指的是在序列上度量的两点之间不跨过断点的距离的绝对值），那么切牌如果切段了距离，那么这个距离绝对值就会变成2n - 2d，由此造成其你完美洗牌后的新距离就会变成d和n - d。因为新的牌叠也变成了n张，其实也就是完美洗牌前的一个半叠，那么这两个距离在环意义上如果原来相等，后续也依旧相等。这要求d = n / 2，即一开始是环上的一半距离，无论哪头都一样，洗完以后也刚好保持，d和n都减半。注意这个魔术和后面要介绍的那些张数为奇数的如《whispering joker》，《max maven的6张数牌巧合》等不同，那边用的是环上距离，切牌不该变；而这里，因为其等距性，才使得哪怕切牌，两个直接距离也都相等，因此哪怕是偶数张的情况，完美洗牌第三定理的距离减半性质也可用了。毕竟在同一个半叠内，位置的移位变化变成距离的变化，是显然的，故也不是一定要死板地去套用奇数张的规律，而采用完美洗牌第一定理的单张牌的位置变化就很合适来解释了。而如果处于不等距的位置的，那就只能是奇数张牌才有这个性质了，但这里每次洗牌后牌叠张数会减少，使得原本的环上距离依赖的环变了，因此那个模型就不再能用。可是随着再进行几次逆完美洗牌，如果不幸有一次，张数成了奇数。那么此时刚好可以应用完美洗牌第三定理，其距离确实会再次减半，但是注意，这是执行了逆完美洗牌最后一步，把两叠牌合在一起之后的情况，但是，茫茫人海魔术里，剩下一叠和你选了不同道路的人们已经离你而去了！你只有在绝对序列距离为偶数的那种切牌结果下，才能依旧保持在一起！关键时刻，还得数学来帮忙。首先，我们必须是的这个间隔能一直切下去，所以是个2的次幂2 ^ n，这样保证在不切牌情况下能够顺利在最后一个岔路口前还在一起。同时，整叠牌的张数也得在切牌过程中一直给我保持偶数啊，否则就会在某一次被切成奇数张，以至于一次切牌这样的飞来横祸就把我们给切散了！也就是说，最少这个牌的张数也得是2 ^ n这么多张，且是它的倍数，才能保证偶数张牌一直存在。不过2 ^ n显然还是不行的！因为这样你我就要提前合体了！！！这还是不要太着急吧！所以，这个真正的最小张数，其实是2 ^ (n + 1)。那3 * 2 ^ n，4 * 2 ^ n，再大几倍可以吗？很遗憾，并不都可以，因为在两人最后相遇的时候，还有一个极为苛刻的条件，就是旁边不允许有电灯泡！！！哪怕不切牌，正常这么逆完美洗牌数下去，最后相遇为一叠，也就是间距变成1的时候，必然还有其他的牌在其中，按照剧本，直接在一起不合适，再发就要离我而去了！当然，如果切牌切得合适，总是能够在恰当的时候当其中一个距离只剩下2的一次幂的因子的时候切到另一侧，又可以获得新的对应次幂因子的情况只有一种，那就是3 * 2 ^ n，不然要么就是还有电灯泡，要不就是在下一个路口为了甩开他们离我而去了。不过何必整3 * 2 ^ n这么艰险的道路让他们要碰运气相遇呢？2 ^ (n + 1)不就是最好的完美选择吗？甚至更加神奇的是，在长度为2 ^ (n + 1)的序列里绝对序列距离为2 ^ n的两张牌，其值是不会随着切牌而改变的，是个真正的距离不动点！在整个牌环上看，从谁到谁，距离都是定值，也都是整个环大小的一半！没错，这就是吴如皓老师初版茫茫人海魔术的设计，取用了32张牌，然后距离为16，其设定这个16的距离，通过一次十字交叉的切牌来使得固定16张的顶底合在一起而达成。其实这个魔术的原理，相信在前面几个魔术的基础上，大家应该能自己推导出来了。因为这个魔术的每一个局部片段，应该都是出现过的，只不过以一种十分新奇的方式又再次结合在了一起。我们不妨用倒推法推导一下这其中的秘密：1. 最后的这3步茫茫人海操作，看出来应该要求选牌和指引牌的位置相距为8，指引牌在第8张，那么选牌在第9张（从0开始索引就是第8张），整叠牌应该是16张；2. 一开始观众选的牌是整叠16张的最后一张，经过约瑟夫过程以后，这张牌的位置是多少呢？最后一张的从0开始的索引是15 = 1111，根据我们上一个魔术里挖掘到的一次约瑟夫过程对所有牌的排列的改变的规律可知，1111应该位于顶部第9张，也就是前面有首位为0的全部8个元素，然后接着就遍历到了1111，因此，它和我们指引牌的距离刚好是8；3. 于是，经过3次反完美洗牌和中间不改变任何性质的切牌，加上等效引入的reverse操作，最终选牌和指引牌会成为最后剩下的两张，即为所求。顺便再提一点，就是整个推导的过程，如果用十进制来描述，相对而言是很麻烦的，比如要每次说明两张牌的距离为多少，会在antifaro的同一叠中，于是位置减半，于是距离减半等，严谨一点还要讨论in/out的模式。虽然也对但繁琐，这其实体现了我们可能没有用到最好的数学结构来描述它。如果你尝试用二进制直接解释就清楚多了，两张牌距离为8，意味着它们的位置索引刚好就首位不同，其他都一样的！而环上的两边的距离都是8，也刚好可以归因于这个16的长度，位置加减16后，根本不会改变其他位置上的值，而且刚好补齐了，首位从1到0需要补齐的2个8张牌的填位符。至于后面为什么一直靠近就更好说了，对于次幂张牌的反完美洗牌，如果是完整的，那就是每张牌位置的循环移位舞蹈，而这种缩减的，那自然就只有移位而不再循环，因为其他位都一样，因此只有到最后一步，其首位的不同才体现为最后2张的它们位置差1。这个小作品可以作为约瑟夫问题和完美洗牌定理三的说明案例来使用了，魔术方面的东西不多，无非是不经意地选到16张牌，以及给约瑟夫过程给一个合理的解释，那就是洗乱加上最后选到一张魔术师的牌作为指引。但是对数学魔术的改造对我来说，总是永无止境的，我做梦也想不到，我后面会把它扩展成一个那样精彩的作品，下期见！![]()
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
