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2025年的国自然更是基金本子质量与顶刊协同并重的时候，
如何准备并发表顶刊成为一项需要长期打磨的技能了。
今日的文章来自张露露、李琛坤和黄俊老师
梁漱溟曾经说过，思维有八境界，第五层是以简驭繁。在现在的科研圈，回归简单才是最大的勇气。下面是原文摘要：
在电化学领域，或许在其他历经时间考验的科学学科中，被称为经典的知识通常较少受到初学者的关注，尤其是那些迫于压力或被诱惑快速投入到前沿研究的人，这些前沿研究并不总是恰当地被标为“现代”。
事实上，这种现象是对历史负担和当下压力的正常反应。在这样的背景下，如果有人意识到退一步可能是前进的最佳方式，那么为他们提供易于理解的经典知识教程将非常有用。
这正是本文的驱动力，主题聚焦于电（电化学）双电层（EDL）的物理化学建模。我们从对双电层关键概念的基础性介绍开始，并简要介绍其历史。
随后，我们阐述如何在平衡条件下对双电层进行建模，首先介绍传统的古依-查普曼-斯特恩模型，然后是对称的Bikerman模型，最后是非对称的Bikerman模型。
接下来，我们以一个统一的广义势方法为例，推导出一组描述非平衡条件下双电层动态的方程。
最后，我们详细讲解电化学阻抗谱（EIS）的定义和数学基础，并为简单的双电层推导出一个EIS模型。我们尽量避免在模型推导过程中遗漏那些被认为是“琐碎”的信息，希望这能让读者更容易进入物理电化学的美妙世界。
在大多数情况下，电子流可以穿过EEI，导致靠近电极的溶液物质发生氧化或还原反应。电子转移速率取决于电势分布、反应物和产物的浓度以及溶剂化环境的介电极化。因此，EDL的结构和性质是影响界面电子转移反应的重要因素。
电势、电解质中的离子浓度以及溶剂在电双层（EDL）中的取向都由过量表面电荷密度（记作σM）决定。在电化学电池中，由于整个电池必须是电中性的，因此两个电极的 σM具有相同的大小但符号相反。σM可以作为电池电压 Vcell) 的函数来变化，或者在只考虑单个电极的情况下， σM 是所考虑电极的电势的函数。σM和
之间的关系称为表面充电关系。确定σM-
关系是模拟EDL及其电化学反应的关键任务。
图2给出了EDL的表面充电关系的示意图。溶液体相的电势被选为参考点。电极体相的电势
可以任意调节。在电极表面存在一个电势下降χ，这是由固体电极中的电子溢出到电解质溶液中引起的。χ 与固体电极的电子密度有关，因此它的值取决于在计算中包含了多少电子。更具体地说，考虑更多金属电子时，χ 的值会更高。对于给定的金属，χ 随
略有变化，在后续分析中我们假设χ是一个常数。
首先考虑的情况，如图2(A)所示。此时电解质溶液中靠近电极表面的电势低于
。因此，阳离子在EDL中积累，因为它们在那里能量较低。相反，阴离子被排斥。因此，在EDL中储存了正净电荷，伴随着金属表面的过量电子，导致σM < 0 )。如果
增加，由于我们假设电极的 χ 是常数，EDL中的电势会变得更加正极性。这意味着积累的阳离子减少，阴离子排斥也减少。因此，σM变得不那么负，向更正的值转移。
对于的情况，如图2(B)所示，由于我们将电势参考设定在溶液体相中，整个电解质溶液中的电势为零。此时EDL中或电极表面上没有过量电荷，即σM = 0)。这个特定的
值是零电荷电势（pzc）（PZC的理解是双电层结构理解的关键。决定了双电层带电量。
定义：PZC是指当电极表面不存在净电荷时的电势。它表示在电极-电解质界面上，电极表面的电荷正好被溶液中的反离子完全补偿，此时电极表面没有过剩的电子或离子。这意味着，电极和电解质溶液之间的电双层结构不携带净电荷。
电双层结构与PZC：在PZC点时，电极表面的电荷积累与溶液中的反离子完全中和，电双层（EDL）中的电势差为零。在其他电势下，电极会累积净正或净负电荷，并在溶液中形成相应的反离子积累区域。通过调节电极电势 ，可以改变电极表面的净电荷，而当电势达到PZC时，净电荷消失。
PZC的影响因素：材料特性：不同的电极材料由于表面电荷和电子结构不同，具有不同的PZC值。例如，贵金属和过渡金属的PZC值通常不同，且与电极表面的晶面有关。电解质环境：电解质溶液的离子组成、浓度和溶剂类型都会影响PZC。例如，在含有吸附性离子的溶液中，PZC可能会发生偏移。某些离子（如氯离子或阴离子）会倾向于吸附在电极表面，这会改变电极的表面电荷分布并改变PZC。
PZC的应用：吸附现象的研究：PZC可以用于研究电极表面的离子吸附现象。当电势高于或低于PZC时，阳离子或阴离子会分别被吸附或排斥。电化学反应动力学：PZC可以帮助理解界面处的电化学反应速率。例如，在PZC附近，电极表面不携带净电荷，这可能对某些电化学反应，如氧化还原反应的反应速率产生影响。材料表面修饰和电催化剂设计：了解PZC有助于设计具有特定表面电荷的电极材料，这在电催化和能量转换领域非常重要。
化学吸附的影响：在存在化学吸附（chemisorption）的情况下，PZC可能不再是单一的，而是会表现出多个PZC点。这是因为吸附的分子或离子会在电极表面引入附加的电荷，使得电极表面的净电荷不再仅仅由金属本身的电荷决定。化学吸附会引入一个表面偶极矩（surface dipole moment），改变了电极表面的电势分布，导致PZC点的变化。
文献来源Trasatti S, Lust E. The potential of zero charge, in Modern aspects of electrochemistry[M]. White R E, Bockris J O M, Conway B E, Editors, 1999, Springer US: Boston, MA. 1-215 ）。
对于的情况，如图2(C)所示，阴离子积累而阳离子在EDL中减少，即σM > 0 )。总体而言，σM-
关系关系在普通EDL中显示出单调递增趋势。通过这种关系，我们可以得到微分双电层电容 Cdl：
（1）
对于存在化学吸附的EDL，表面充电关系可能是非单调的。在图2中，我们给出了一个例子，其中在高电势范围内发生了化学吸附。由于部分电荷转移，化学吸附物通常带有部分电荷。这些带电的化学吸附物与位于金属表面原子上的补偿电荷共同产生一个表面偶极矩，称为化学吸附引起的表面偶极矩。
在电极表面引入了额外的电势下降
。即使在高电势
的情况下，带有化学吸附物的电极表面仍可能因附加的负电势下降
而带负电。因此，表面充电关系在电催化界面中可能会是非单调的，并且在高电势区域可能出现第二个零电荷电势（pzc）。根据其定义，在σM-
关系的非单调区域内 Cdl 为负值。需要注意的是，存在化学吸附物时， σM 的定义应相应改变，不仅包含电极表面的过量电荷，还包括带电吸附物所携带的净电荷。因此，最好将其记作 σfree ，其表达式如下
（黄老师有一篇专门的综述，讲述了有吸附物质时候的surface cahrging的问题，感兴趣可以查阅Surface charging behaviors of electrocatalytic interfaces with partially charged chemisorbates ）。
我们们希望提供一个关于在平衡和非平衡条件下电双层（EDL）物理建模的教程。在非平衡条件下，时间域和频率域的响应都将被建模。后者实际上是电化学阻抗响应。作为教程，本文系统地阐述了相关模型，并提供了数学细节。此外，我们在附加信息中提供了这些模型的仿真脚本。
本文的其余部分组织如下。首先，我们简要介绍了EDL理论的历史。然后，我们介绍了平衡条件下的EDL模型，包括Gouy-Chapman-Stern模型，接着是考虑离子尺寸效应的Bikerman模型，最后是考虑不对称离子尺寸效应的修正Bikerman模型。接下来，我们从EDL的巨正则势导出非平衡EDL模型。之后，我们介绍了电化学阻抗谱（EIS）的基础，并展示了如何从非平衡EDL模型中导出EIS模型。
图3 电双层发展的关键里程碑
要定量确定关系，需要一个物理化学模型来描述电双层（EDL）。图3总结了EDL建模和仿真的演变里程碑。
Helmholtz（1879年）将EDL视为一个平板电容器（），具有恒定的双电层电容（Cdl），并假设两板之间的空间内电势线性分布。
不同于Helmholtz假设反离子是刚性排列的，Gouy和Chapman在1910年提出了电解质溶液中反离子的扩散性质，比Debye和Hückel早了十年。在Gouy-Chapman模型中，电解质溶液被视为嵌入介电连续体中的点离子云。电势和离子浓度的分布由Poisson-Boltzmann方程控制。
由于该模型基于点电荷假设，Gouy-Chapman模型仅限于轻微带电界面上的非常稀溶液。当界面电荷较高或当远离零电荷电势（pzc）时，Gouy-Chapman模型会导致电极表面附近反离子浓度异常高。在这种情况下，电极表面与diffuse layer中面之间的距离（记作d0 ）变得非常小，导致“电容灾难”现象，即 Cdl无限增长(根据这个公式
)。
Stern通过限制反离子最接近Helmholtz平面（HP）的距离消除了这一限制。无论电极表面电荷密度的大小如何，d0都有一个下限，从而将当 远离pzc时电容无限增长转变为平稳区域。Bikerman通过使用格子气模型进一步考虑了离子尺寸效应。Stern和Bikerman处理中的离子尺寸考虑有微妙的区别。尽管在Stern模型中，d0 受限，但Poisson-Boltzmann方程被继承。这意味着在Stern模型中，HP处中的离子浓度可以是无限的。而在Bikerman模型中，HP处和diffuse layer中的离子浓度有一个由格子尺寸决定的有限上限。因此，在Bikerman模型中，随着
远离pzc，d0 先因反离子拥挤而缩小，随后因过度拥挤而扩展。结果，通常会得到一个驼峰形的双电层电容曲线。在高浓度溶液中，则会得到一个钟形的双电层电容曲线，因为当
远离pzc时，d0 始终增加。（白话这段：在Bikerman模型中，靠近电极表面的那些小离子，它们的数量是有限的，就像一个盒子只能装一定数量的积木一样。因为盒子有固定的大小，所以离子不能无限地靠近电极，也不能无限多地挤在一起。当离子靠得太近时，空间变得拥挤，这时候它们会像人们在拥挤的房间里一样，先靠得很近，然后因为太挤了，又被迫稍微分散开。这种挤来挤去的现象会在电容的图表上产生一个驼峰形的曲线，看起来就像骆驼的背一样。而在非常浓的溶液里，离子更多了，这时候的电容图表会变成一个像钟一样的形状。简单来说，随着离子越来越挤，电容的变化也会呈现出不同的形状。下面是给出的图的案列）
（来自DAVID C. GRAHAME，1947 。这张图展示了不同浓度下的双电层电容曲线，纵轴是电容值，横轴是电极电势，图中有三条曲线分别代表0.1 M、0.01 M和0.001 M的HClO₄溶液浓度，高浓度下（0.1 M）：曲线呈现出较大的波动，这与Bikerman模型中的解释一致。当溶液浓度较高时，离子会在电极表面大量聚集并形成拥挤的状态。随着电极电势远离零电荷电势（pzc），离子由于过度拥挤而开始扩散开，形成图中类似驼峰的双电层电容曲线。曲线的变化幅度较大，因为溶液中离子较多，电极表面发生的反应和相互作用也更明显）
Grahame在特定离子吸附的情况下扩展了Stern的观点。他将HP分为内Helmholtz平面（IHP），在此处有特定吸附的离子，以及外Helmholtz平面（OHP），此处有溶剂化反离子。隐含的假设是，特定吸附的离子保留了它们在体相溶液中的电荷，这一假设后来在1961年由Lorenz和Salie通过部分电荷转移的概念进行了修正。此外，作为一种近似，内层的电势分布被认为是线性的。内层的电势差由两个部分组成：一个是由电极表面的净表面电荷σM引起的，另一个是由特定吸附的离子携带的电荷引起的。Grahame计算了内层微分电容（）作为σM 的函数。
是不对称的，并在正 σM 处达到最大值。Grahame的结果引起了理论家们的广泛兴趣，建议EDL建模的两个新方向：描述IHP处的水偶极子和描述金属电子，详细内容如下。
Grahame在1958/59学术假期间访问了英国，并与Roger Parsons进行了富有成果的合作（合作之余科研的重要）。这次英国访问传播了他在剑桥的实验发现。Watts-Tobin和Mott尝试解释了在阳极极化条件下的升高以及
在略高于pzc电势处出现的峰值。前一种现象一直存在争议，可能的原因包括汞离子的吸附、特定吸附的氢氧根离子以及OHP与金属表面之间距离的变化等。后一种现象归因于界面水分子的取向极化，这是Grahame最初提出的，随后由Watts-Tobin进行了建模。
Watts-Tobin假设界面水分子可以占据两种状态（氢朝下或氧朝下）。其基本思想是，在电荷更高的表面上，界面水分子极化程度更大，导致介电常数降低，进而降低。因此，
的峰值位于水分子介电常数最大的pzc处。在实验中观察到的
峰值偏离pzc的现象是由金属表面的“自然场”引起的，即金属电子效应，这在20世纪80年代成为了一个热门话题。（知识点补充：金属电子效应指的是金属材料表面上的自由电子对电化学反应和界面现象的影响。金属表面存在大量自由电子，这些电子可以自由移动，并且在不同的条件下（如电场、化学反应等）表现出不同的行为。这些自由电子的分布和运动会对电极表面以及与电解质溶液的界面产生影响，尤其是在像电双层结构（EDL）和电极反应这样的系统中。
在Watts-Tobin模型中，讨论的金属电子效应主要体现在以下几个方面：
电场的影响：当电极表面带电时，表面的自由电子会根据电场的变化重新分布。这种重新分布会影响电极表面与溶液中的离子和分子之间的相互作用，尤其是界面水分子的取向和极化。随着表面电荷增加，自由电子的重新分布会导致局部电场变强，从而影响介电常数和水分子的极化。
自然场效应：在Watts-Tobin模型中，金属表面上的“自然场”指的是金属表面的自由电子所产生的电场。这种“自然场”可以影响水分子的排列和极化，从而对实验中观察到的峰值位置产生影响。即使在零电荷电势（pzc）附近，由于金属表面电子的分布，局部电场仍然存在，这会导致介电常数的变化。
电子与离子的相互作用：金属表面的自由电子还可以与电解质溶液中的离子相互作用，影响离子的吸附和分布，特别是在高电荷密度或强电场下。这些相互作用也会改变电双层的结构，进而影响电容和反应动力学。
简单来说，金属电子效应是指金属表面上的自由电子如何影响界面电场、水分子的极化以及电双层的性质。这种效应在高电荷密度条件下尤其明显，并且在20世纪80年代引起了广泛的关注，因为它为理解电极-电解质界面的行为提供了新的视角。）
Watts-Tobin模型经过了多轮改进，考虑了更多水的状态和氢键网络，具体可参考Guidelli和Schmickler的综述。
结合Grahame的数据，首次揭示了金属电子效应的重要性，Trasatti对pzc处简单sp金属的
与金属电子密度的相关性，推动了理论家们显式考虑金属电子效应。在20世纪80年代，Schmickler、Badiali、Kornyshev及其同事将广泛用于金属表面理论的果冻模型（jellium model）引入EDL理论。在果冻模型中，金属被视为一个不均匀的电子气体，与对应于金属阳离子核的正电荷背景相对。电子气体使用局部密度近似（如Thomas-Fermi-von Weizsäcker理论）进行描述。之后，正电荷背景被替换为赝势，以考虑金属的特定行为。果冻模型能够解释
对金属和表面电荷的依赖关系。（解释：果冻模型（jellium model）是一种在金属表面科学中用于简化描述金属导电性和电子分布的理论模型。它最初是为了处理金属中的电子与金属原子核之间复杂的相互作用而提出的。在果冻模型中，金属中的正电荷（通常是金属原子核的正电荷）被看作一个连续、均匀的背景，类似于“果冻”的形式。这个背景不考虑原子核的离散性，只关注正电荷的整体分布。而电子则在这个均匀的正电荷背景中运动，形成一个所谓的“电子气体”。果冻模型的主要目标是通过这种简化来计算电子的行为，尤其是在描述金属表面的导电性和电化学反应时，减少对复杂原子结构的依赖。为了进一步提高精度，果冻模型通常结合局部密度近似（如Thomas-Fermi-von Weizsäcker理论），用于描述电子气体的分布和动能。后来，赝势（pseudopotential）被引入，取代了原始的正电荷背景，从而可以考虑金属的具体行为特征，比如晶格结构对电子行为的影响。果冻模型的优势在于它能够有效简化金属-表面系统的计算，尤其是在描述电极电解质界面时，它被广泛应用于电化学双电层（EDL）理论，帮助解释金属表面电荷和电子结构如何影响表面电荷分布和电极性能。）
EDL建模的下一个里程碑是Price和Halley在1995年的工作。他们采用了Car-Parrinello方法，将分子动力学与密度泛函理论（DFT）结合起来，模拟了铜薄片与水分子形成的EDL。这项工作为EDL的原子级建模开辟了新的方向。从那时起，该领域转向了以Kohn-Sham DFT为核心的广泛计算机模拟。大多数基于DFT的第一性原理模拟都针对电中性界面进行。2006年，Otani和Sugino开发了一种方法来模拟带电界面。他们使用Poisson-Boltzmann方程对电解质溶液进行处理，以屏蔽金属薄片上的过量电荷。这种所谓的隐式溶剂化方法后来被包括Arias等、Jinnouchi和Anderson、Hennig等Nishihara和Otani、Marzari等、Melander等等多个研究组改进。最近的从头算分子动力学（AIMD）模拟能够通过在溶剂层中引入离子来处理带电固体电极。这种方法提供了一种正确处理电极电势的方法，电极电势是从与（计算的）标准氢电极（SHE）参考的体系功函数中计算出来的。
最近，Huang及其同事开发了一种混合密度-电势泛函理论（DPFT）用于EDL的建模，将量子力学处理多电子与经典统计学处理溶液相中的带电粒子相结合。DPFT避免了计算Kohn-Sham轨道的高计算成本。相反，DPFT基于所谓的无轨道DFT。这一特性使得DPFT模型区别于其他基于DFT的第一性原理模型，如Arias等人开发的用于EDL的联合DFT模型。在参考文献中，针对金属电极的无轨道DFT包括用于电子动能的Thomas-Fermi-von Weizsäcker理论、基本动能密度泛函（KEDF）以及用于交换相关泛函的Dirac-Wigner理论，即基本局部密度近似。对于电解质溶液，Huang开发了一种考虑不对称空间效应、溶剂极化和离子与金属之间特定相互作用的统计场理论。综合起来，形成了EDL的混合密度-电势泛函，用于描述巨正则势泛函。对这一泛函的变分分析产生了一个通过电子密度和电势描述的巨正则EDL模型，并通过两个Euler-Lagrange方程进行描述。
（这段对于做模型的人可能不是很难理解，对于不做模型的人，比较迷惑。下面我们试着解释下：
哈哈哈，先上来一个白话版本：
想象一下，你有一个金属和一个液体，它们在一起会有一些“带电的小粒子”（就像小电池一样）在它们之间移动。我们想知道这些粒子在金属和液体的交界处是怎么互动的。要弄明白这个，我们可以用一些很聪明的方法，叫做“理论模型”，就像我们用不同的规则去玩游戏一样。
1. 密度-电势泛函理论（DPFT）： 就好比你有一个特别的工具箱，这个工具箱可以同时做两件事：一边处理金属里的电子（像一群小电池），另一边处理液体中的粒子。这个工具箱特别厉害，因为它可以同时用两种规则：一种是“量子力学”（管金属里的电子），另一种是“经典统计学”（管液体里的粒子）。这样我们可以更容易看清楚这些粒子是怎么互动的。
2. 无轨道DFT： 过去，我们得很仔细地计算每个小电子的轨道（轨道就像小电子走的路线），但是这个需要花很多时间，就像做很复杂的数学题。而DPFT里面有个聪明的地方：它不需要看每个小电子的具体路线，而是用一个大概的规则来快速解决问题，就像你知道一个人怎么走路，不需要每次跟着他一步一步走。
3. 处理液体中的离子： 液体里的带电粒子也很重要！DPFT还考虑了液体里的粒子和金属的互动，甚至想到了溶液中小电粒子的形状、怎么转弯、和金属之间的拉扯力。这些都很重要，就像玩磁铁游戏时，不同的小粒子会有不同的反应。
4. 总的规则： 最后，DPFT会生成一组像游戏规则一样的方程式，帮助我们精确地描述金属和液体交界处的粒子是怎么运作的。通过这些规则，我们可以更好地理解电池、电极这些东西是怎么工作的。
总结来说，这种方法就像一个很强大的游戏规则，可以同时解决金属和液体之间的互动问题，而又不用太复杂的计算！
下面是正经儿解释版本
这段内容介绍了一种叫做混合密度-电势泛函理论（DPFT）的方法，用于建模电化学中的电子双电层（EDL）。为了更好地理解，可以将其分为几部分：
1. 混合密度-电势泛函理论（DPFT）：
- DPFT是一种将量子力学和经典统计学结合的建模方法。它的创新之处在于能够同时处理金属电极中的多电子系统（量子力学处理）和电解质溶液中的带电粒子（经典统计学处理），因此为描述EDL提供了一种全新的方法。
- 在传统的DFT（密度泛函理论）中，电子结构是通过Kohn-Sham方程求解的，但这通常非常耗时，因为需要计算每个电子的轨道。而DPFT避免了这些高昂的计算成本，转而使用一种无轨道的DFT方法。
2. 无轨道DFT：
- 在DPFT中，电子的动能和交换相关项不再依赖于计算具体的电子轨道，而是采用近似的泛函。例如：
- 电子动能使用了Thomas-Fermi-von Weizsäcker理论，它通过电子密度近似描述动能。
- 交换相关泛函使用了Dirac-Wigner理论，这是一个基础的局部密度近似。
- 这种无轨道方法极大简化了计算，使得它比传统的第一性原理方法更加高效。
3. 电解质溶液的处理：
- 对于溶液中的离子和溶剂，Huang及其同事开发了一种新的统计场理论，该理论考虑了不对称的空间效应、溶剂的极化效应，以及离子与金属之间的相互作用。这些因素对于准确描述EDL行为非常关键，尤其是在电化学反应中。
4. 巨正则势泛函与变分分析：
- 最终，DPFT通过结合电子密度和电势来描述整个EDL系统。通过变分分析得到了一组方程，称为Euler-Lagrange方程，这两个方程可以描述EDL的巨正则模型。
- 这使得整个DPFT模型能够有效地处理电化学系统中的复杂相互作用，尤其是在金属-电解质界面的描述中。
总结：DPFT模型通过无轨道DFT简化了传统的密度泛函理论，并结合了统计场理论，提供了一种高效的工具来描述EDL中金属电子与电解质粒子间的复杂相互作用。相比于传统的第一性原理模型，它降低了计算成本，但仍然能精确描述电极界面区域的电子结构与电化学行为。）
图3 电双层发展的关键里程碑
3.平衡模型
3.1Gouy-Chapman-Stern Model
EDL建模的下一个里程碑是Price和Halley在1995年的工作。他们
古伊-查普曼-斯特恩 (GCS) 模型是电双层 (EDL) 的经典模型。电势从电极线性分布到HP，并由扩散层（diffuse 和diffusion layer）中的泊松-玻尔兹曼 (PB,Poisson-Boltzmann) 方程描述，如图3的第三个子图所示。从电极到HP的距离通常取为水合离子的半径。
PB 方程描述了电解质溶液中电势和离子浓度的分布。泊松方程（泊松方程描述的是电荷密度如何在空间中产生电势，并用于解释静电场的分布）如下所示：
图4 GCS模型的典型结果，包括 (A) 电势的空间分布和 (B) 阳离子浓度的空间分布，以及 (C) 表面电荷密度与 (D) 电极电势的关系。(A) 的插图展示了电极附近2 nm范围内的电势分布。计算的参数列于表1中。本模型的Matlab脚本在支持信息中提供。（彩图在线）
3.2 Gouy-Chapman-Stern Model
本节中可能需要进一步解释内容
如何理解上面HP平面的电势的方程式(8)呢？电极电势减去零电荷电势 是为了确定电极表面上净电荷的存在与否以及其符号。这个差值反映了电极表面与溶液界面处的电荷状态。如果电极电势 高于 零电荷电势 ()，则表明电极表面可能带正电，从而吸引负离子。如果电极电势 低于 零电荷电势 (
2.双曲正弦函数 sinh(x)
备注：双曲正弦函数
公式 (9) 是关于电极表面电荷密度 与电势梯度之间的关系，具体来说，它描述了在电极表面以及 Helmholtz 平面（HP）处的电场行为。公式 (9) 表示的是表面电荷密度与电极材料和 Helmholtz 平面介电常数的关系。在电极和 Helmholtz 平面两侧，电场强度可以通过电势梯度描述，并且电场强度乘以介电常数的乘积，在电极表面 () 和 Helmholtz 平面 () 处是相等的。这意味着虽然介质不同，但电场的强度通过介电常数的调整实现了电荷守恒。
Gouy-Chapman-Mtern model代码
深度解析国自然：思考比写作更重要！如何真正理解“国-自然-科学-基金”七字精髓？
