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“要么我疯了，要么这里就是地狱。”
“都不是，”球体平静地回答，“这是知识，这是三维空间：再次睁开你的眼睛，试着仔细看看吧。”
于是我又看了看。瞧，一个新世界！
——埃德温·阿博特，《平面国》，1884年
在我小时候，孩子们的普遍共识是世界上有一批擅长数学的人和一批擅长写作的人——这两个群体不但没有交集，而且彼此间横亘着巨大的鸿沟。我数学学得不错，也乐在其中；因此，我的写作水平欠佳——我就是这么告诉自己的。虽然我在写作课上表现不俗，但这个信念还是伴随了我许多年。
后来，当我成为研究生并开始写关于数学的内容时，我意识到我其实善于写作，而且—— 咝！——也喜欢写作。我把杂乱无章的事实用符合逻辑的方式组织起来，从细节中提取出整体框架，并把它们用既合理又便于理解的文字呈现给读者。这为我带来了巨大的快乐。而且我发现，仔细检查我写的东西，重读它并使它变得更简练，也会让我生出满足感。
莱昂哈德·欧拉
在研究生阶段，我多次因莱昂哈德·欧拉的多面体公式和欧拉示性数而感到惊讶。V-E+F这个表达式似乎无处不在。它既是基础的，又是深奥的；既富理论趣味，又有实际用途。它成了一直陪伴我的朋友。我意识到，由于这颗宝石常常出现在数学的前沿领域，不仅一般人，甚至很多数学专业的学生都对它感到陌生。于是我想到，应该有一本关于欧拉公式的书，而我就该是那个写书的人。
之前我从未产生过写书的想法——这件事不在我的人生计划清单上，但我突然就兴奋了起来。我开始发动一场头脑风暴——罗列所有我知道的跟欧拉多面体公式（简称欧拉公式）相关的话题。我也去学校图书馆翻遍了每一本记载着这个公式的杂志和图书。
立方体和足球(截角二十面体)都满足欧拉公式
很快我就发现，有趣的不仅是这部分数学知识，还有它背后的历史。
欧拉做了什么呢？
为什么这个公式有时和笛卡儿或庞加莱的名字联系在一起？
为什么古希腊人没有发现这个公式？
它是如何从一个几何学定理转化成一个拓扑学定理的？
有哪些有趣的人物为它的发展做出过贡献？
我虽然读过一些关于数学史的书，但没有受过这方面的专业训练。因此，我一头扎进了文献的海洋中。读得越多，我对这个领域的喜爱就越深。我甚至还在我的大学里设计并教授了几门数学史课程。
地球上总有一点无风吗
我面临的奇怪挑战之一就是确定欧拉对这个公式的贡献到底是什么。我只能找到其他数学家对欧拉公式的证明，外加一些模糊的叙述，说欧拉本人的证明是有瑕疵的。欧拉写文章时用的是拉丁文，所以我找到了我在迪金森学院的同事兼朋友——古典学者克里斯·弗兰切塞——来帮我进行逐句翻译。于我而言，阅读欧拉原文的经历是一种惊喜，也让我眼界大开。他的证明的确有一个瑕疵，但很容易修正。
我们能只用四种颜色给地图上色吗
这时候，我只是把写书当作一项副业。我的大部分时间仍然花在教学，以及和我的长期合作者吉姆·怀斯曼一起研究拓扑学和动力系统上。但是，渐渐地，我在写书上也有了进展。
考虑良久之后，我才确定了这本书面向的读者群体是谁。一开始， 我几乎是以写教材的方式来写它的——每一章的结尾甚至有习题。但我一直很喜欢普林斯顿大学出版社所出版的那些数学书。它们针对的是普通大众，却没有削减数学内容。其中很多书的作者也是数学家，而不是那些在专业知识深度方面无法与他们匹敌的新闻记者。所以，我最终决定仿照普林斯顿大学出版社的书目来创作我自己的书。
当然，我的书涵盖了一些非常前沿的主题——拓扑学、动力系统、微分几何、图论等。是什么让我认为我可以把它写得能让一般人读懂呢？毕竟，在《时间简史》（1988）的前言中，斯蒂芬·霍金写道：
“有人告诉我，我放进书里的每一个公式都会让书的销量减半。”
而我的整本书都是关于一个方程的！
开普勒所画的柏拉图立体(出自《宇宙和谐论》)
最终，我没有采纳那条来自霍金的编辑的建议。我认为展示真正的数学是没有问题的。我相信自己的判断，也相信读者们的水平。我不会居高临下地和他们说话。我不会仅仅因为那些美妙而有趣的数学知识难以可视化或涉及方程就对它们避而不谈。在我看来，一名学生直到本科生或研究生阶段才接触到的数学知识并没有那么复杂——至少它背后的思想没那么复杂。
我把寻找多种途径以便读者理解这些数学知识视作一种挑战。我花了很多时间来绘制一些可能会对读者有帮助的图。我向不同的听众群体讲解了书中的内容，还把其中的一些段落搬进了我的数学史课程。人们给出的即时反应是不可替代的。你可以清楚地看到，在你解释完某个东西后，你的听众是点头表示听懂了还是两眼茫然地望着你。
莱奥纳尔多·达，芬奇的截角二十面体和五角化十二面体，出自《神圣比例》
但我还是没有真的指望有人会来读这本书。多年来，我都在写那种只有少数同领域的专家才会阅读的研究性文章，所以当我得知这本书引发的反响时，不禁目瞪口呆——
它收到了非常正面的评价；
它获得了美国数学协会颁发的欧拉图书奖， 并被授予了“一本杰出的数学书”的称号；
它被翻译成了其他语言；
而且最重要的是，人们真的在读它！
我很享受读者的反馈——不管他们是数学家、学生，还是热爱数学但没有从事数学研究的人。写书的过程如同一种自私的追寻，我只是去调查那些激起我兴趣的话题。但这本书的成功说明其他人也对书中的观点产生了兴趣。
弗拉·乔瓦尼·达·韦罗纳的细木镶嵌工艺(左)，以及文策尔，雅姆尼策的《正多面体的透视法》(1568)中的插图(中、右)
事后看来，我本应该料到读者会喜欢这本书——因为我的题材是绝佳的。人们喜爱拓扑学——橡皮膜几何学、单侧曲面、高维空间等。他们热爱多面体，也热爱欧拉公式。而且，近些年来，拓扑学经历了复兴——它是一门“很酷”的学科。
2003 年，格里戈里·佩雷尔曼证明了庞加莱猜想（也称庞加莱猜测），即数学中最著名的问题之一。随后，他拒绝了菲尔兹奖和一百万美元的克莱数学研究所千禧年大奖。和其他很多数学分支一样，拓扑学也从一门纯学术、纯理论的学科变成了一门实用且可计算的学科。
如今，很多图书、杂志和会议都在探讨如何将拓扑学应用到各个领域，例如网络、数据分析、某些问题的定性解、机器人科学、蛋白质折叠和数字成像等。
体验着0维、1维、2 维和3维的鸟
除此之外，当时也是以欧拉为主题进行写作的完美时机。我们在2007 年庆祝了他的三百周年诞辰，因此人们已经开始谈论这位堪比艾萨克·牛顿、卡尔·高斯和阿基米德却名气稍逊的天才了。
最后，现存的文献中有一个空白：
虽然很多人都写过与欧拉多面体公式有关的内容，但是没人写过这样一本书——一本将古希腊至今的2500 年相关历史铺陈开来的书。
对于《欧拉的宝石》为我打开的种种大门，我一直心怀感激。我被邀请就我的书发表演讲，遇到了很多有吸引力的人，也收获了从事新职业的机会。例如，我被选为美国数学协会的大学生杂志《数学地平线》——一本源源不断地把有趣的数学和引人入胜的数学家故事输送给大众的杂志——的编辑。这可谓是我对数学的爱和说理写作之间的一段美好姻缘。
我想感谢我在普林斯顿大学出版社的编辑薇姬·卡恩，她始终相信我和我的计划。当一位读者在报告里直言不讳地指出我的书应该以1750 年欧拉的证明来收尾， 并且应该删掉所有的拓扑学内容时，她对我十分体贴。
讨论了这条批评后，我们意识到问题出在期望上：我应该在一开始就更好地让读者了解这本书的主题。这需要两个小的改动——加上一个副标题（从多面体公式到拓扑学的诞生），以及写一篇介绍全书内容的序。这似乎奏效了——后续的读者评价里再也没有出现同样的批评了。
《欧拉的宝石》与阿尔伯特·爱因斯坦、理查德·费曼、乔治·波利亚、赫尔曼·外尔、斯蒂芬·霍金、罗杰·彭罗斯等杰出科学家和数学家的著作一起入选了“普林斯顿科学文库”系列书目，这是我莫大的荣幸。
我真希望回到过去，对童年的自己说：
“别相信那句谎话，一个人是可以同时成为数学家和作家的。”
END
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文章来源：《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》
责任编辑：白雪
审核人：卢金路
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《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》
莱昂哈德·欧拉的多面体公式 V-E+F=2 被数学家们誉为优美的数学定理。从足球和宝石到美妙的穹顶建筑，这一公式描述了许多物体的结构。本书围绕欧拉多面体公式及其数学思想，从古希腊数学讲起，直到当代拓扑学的前沿研究，介绍了这一公式的发现及其对拓扑学研究的深远影响。书中包括丰富的插图与例子，展示了多面体公式的许多优雅而出人意料的应用，例如说明为什么地球上总有一些无风的地方，如何通过数树来测量林地的面积，以及为任何地图涂色需要多少支蜡笔，等等。在书中，读者将看到一群质疑、完善多面体公式和为这个非凡定理的发展做出贡献的杰出数学家，在数学史的长河中，他们为多面体的研究和拓扑学的发展做出了自己的贡献。本书适合对数学，尤其是拓扑学及数学史感兴趣的读者阅读。
