学科育人视域下的数学魔术:价值再认与教学新探

       所谓“数学魔术”，是指运用数学原理设计的魔术，它既蕴含数学的思维，又体现魔术的乐趣.将数学魔术融入小学数学教学，能改变学生对数学的刻板印象，使学生沉浸于一种愉悦、和谐的氛围之中，有效地提升学生的学习情感与学习效果.

       我们对数学魔术的研究开始于2012年，目前已经有了十多年的思考与实践.在学科育人视域下，我们对数学魔术的价值有了更多的认识.

       (一)理论支撑:内涵更丰富

       1.符合“做中学”理念

       约翰·杜威在《民主主义与教育》一书中提出了“在做中学”理念.杜威认为，儿童生来具有从事各种活动的本能，其中做的本能最为重要.于是，儿童应该在做的活动中学习，即改造自己的经验.陶行知先生的“教学做合一”理念的直接源头便是“做中学”.让·皮亚杰在《儿童智慧的起源》一书中首次提出了“玩中学、学中玩”的概念，其具体的含义是:让孩童在玩耍中学习，在学习中加入玩耍便于孩童学习.在小学数学教学中，让学生“看魔术”“探魔术”“创魔术”“演魔术”……就是让学生“做数学”.

       2.符合“具身认知”理论

       具身认知(Embodied Cognition)是近三十年来在认知科学中出现的认知理论.它以“涉身性”“体验性”与“嵌入性”为重要特征，强调身体、大脑和环境的耦合关系，突出三者在认知中的作用，具身学习将身体和心智看作一个整体，有效弥补了学生“身体在场”的缺失，进而实现知、情、意、行的统一.数学魔术以其变幻莫测的现象、手脑并用的表演和灵感频现的创编，能够激发学生全身心地投入学习活动之中，有强烈的“涉身性”“体验性”与“嵌入性”.

       3.符合新课标精神

       在小学数学教学中，数学魔术是通过师生欣赏、揭秘、表演、创编这一系列过程而开展的:欣赏魔术表演时，要学会用数学的眼光观察魔术现象;揭示魔术秘密时，要学会用数学的思维思考其中的数学原理，要把发现的规律或原理用数学语言表达出来.整个学习的过程，恰好与新课标强调的“三会”核心素养相吻合.同时，新课标在“教学建议”中指出:改变单一讲授式教学方式，注重启发式、探究式、参与式、互动式等，积极开展跨学科的主题式学习和项目式学习等综合性教学活动.通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养发展.数学魔术融入小学数学教学，是对传统教学方式的一种创新与探索，契合新课标倡导的学习方式变革.

       (二)价值体现:学科育人的一种实践探索

       1.增强情感体验

       儿童具有好奇的天性.数学魔术以不断变化，让人捉摸不透，并带来惊喜体验为核心.它能够极大地激发学生的好奇心和求知欲，促其产生探究奥秘的浓厚兴趣，不断增强其对数学的美好情感.

       2.丰富学习方式

       动手操作是儿童智慧的源泉.在魔术的探秘、创编等环节，学生需要经历观察、猜想、推理、验证等操作活动，充分地动手做、动脑思，有效地合作与交流，极大地丰富了学习数学的方式.

       3.发展思维能力

       在有意思的活动中，儿童的思维能力才能得到有效的发展.揭秘魔术现象，能够发展学生的逻辑思维;归纳魔术中的数学原理，能够发展学生的归纳思维;创编魔术，能够发展学生的发散思维;等等.所以，数学魔术不仅好玩，而且更多地指向学生思维能力的锻炼.

       十多年来，我们对数学魔术的探索，一直在前行:2012年，作为提高课堂学习兴趣的敲门砖;2014年，作为一门校本课程;2018年，作为数学学习的一种方式;2019年，作为高质量实施国家课程的一种探索;2021年，作为课后延时的一种服务;2023年，作为学科育人的一种样式.

       (一)资源建设

       我们对数学魔术资源的建设，经历了从无到有、从有到优、从优到丰的历程.

       1.甄选魔术，突破“从无到有”

       在对数学魔术的学科育人价值有了充分认识之后，我们进一步挖掘数学魔术资源，分别从伟人的著作、名人的培训、艺人的表演中找到了一些魔术.其中，有些直接可以运用，有些需要适当修改，还有一部分需要进行简化，以保证学生能够看懂、会玩.2020年，我们对甄选的28个数学魔术，从表演道具的准备、数学原理的介绍、表演方法的指导等方面做了详细的讲解，最后制作成视频，在“数学魔术工作坊”微信公众号上推送，提供给居家工作与学习的广大师生应用.

       2.实践检验，实现“从有到优”

       2020年甄选出的28个数学魔术趣味性很强，在居家学习环境下是一种很好的学习资源，但运用于课堂教学还有一定的差距.为此，我们着力结合教材中的内容(既可以是课堂学习的知识，也可以是课堂拓展练习、课外活动的内容等)进行创编，力求通过数学魔术丰富学生的学习方式，高质量地实施国家课程.

       此时，我们发现低年级的数学魔术创编难度较大，于是，我们降低要求，按20分钟来设计——作为一节课的部分环节，或者作为一节活动课.这样，数学魔术融入课堂，可以是全程式，也可以是嵌入式.经过一年的努力，初步得到36个适合课堂教学的数学魔术.

       但教学实践表明，其中有些操作太烦琐，有些不便于学生探究，有些道具准备太困难.于是，我们依据基于教材内容、服务学生成长、方便师生操作等原则，再次审视初创的数学魔术，调整、更改那些不适合的.完善后适合课堂教学的36个数学魔术详见表1.

       3.与时俱进，尝试“从优到丰”

       2021年，国家出台了“双减”政策，学校有了课后服务，一时间教师们不知如何开展活动、开展哪些活动、运用什么开展活动.为了解决这样的困惑，在力求突出数学味、思维力、互动感的前提下，我们创编了18个数学魔术.每一个数学魔术都有表演视频、数学原理讲解、教学设计、道具或者道具制作教程，教师稍加学习便能运用到课后服务活动中.

       除此之外，我们还在“数学魔术工作坊”微信公众号推出了若干适合开学第一课的数学魔术，深受广大师生的喜爱.

       (二)融入方式

       数学魔术好玩，那么，如何带着学生玩好数学魔术，发挥数学魔术对学科育人的价值?根据数学魔术中蕴含的数学原理的深浅、数学元素的多少、学生接受的难易程度，通常采用“全程式”“嵌入式”这两种融入课堂的方式.

       1.全程式

       全程式，是指一节课都围绕数学魔术展开教学活动.全程式数学魔术课堂教学的一般流程包括欣赏魔术、表演魔术、探究魔术、创编魔术、分享魔术五个环节（见图1）.当然，实际教学中，根据魔术的内容和学生的知识基础，这五个环节会适当地调整：高年级一般是完整地经历五个环节，只是第二、第三环节可能会交换顺序;低年级通常只要完成欣赏魔术、表演魔术、分享魔术三个环节即可.

       (1)低年级的关键词:好奇、会玩、乐享

       对低年级学生来说，数学知识的基础、研究问题的方法、解决问题的能力等都比较薄弱，所以，低年级更多的是让学生喜欢上数学魔术，喜欢上数学，感受到数学好玩，对数学有兴趣.有兴趣、有能力的学生，也可以自己探究当中的道理.

       比如，一年级《预言术》魔术:拿出一副扑克牌，请一位学生将牌的顺序打乱，教师将牌展开给其他学生检查时，记住上面的第9张牌，再把牌合上后反扣在桌上;接着，邀请一位学生上台，请他从11—19中任意选一个自己最喜欢的数，写在黑板上(假如是15);随后，从扑克牌的最上面开始，一张一张地数出15张牌;全班学生一起算出15的个位上的数与十位上数的和6(即1+5)，再从刚才数出的15张牌的上面拿走6张牌.接下来，教师预言下一张牌的花色及点数，学生验证，完全正确.

       学生惊奇万分，教师提醒他们:在展示给别人看是否打乱顺序时，记住第9张牌，然后按照上述方法表演.学生成功操作，成就感爆棚.至于个中的“为什么”，随着时间的推移，学生学习了更多的知识，自然就会明白.

       (2)高年级的关键词:好奇、懂理、会玩、能创、乐享

       到了高年级，学生已经有了一定的知识与能力基础，可以适当地进行创编了:或者是比之前的魔术多一步，或者将两个魔术进行融合，或者是同一个规律(原理)的另一种表现形式.

       比如，五年级《读心术》魔术:让每一位学生心中想好4个数字，分别用这4个数字组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，再将这两个四位数相减得到一个差，接着在得到的差中任意去掉一个不是0的数字，将剩下的数字告诉教师.这时，教师都能准确告诉学生去掉的数字是几.其中的秘密就是:得到的差是9的倍数，且所有数字的和是9的倍数.学生根据这一原理，创编出多种造9的倍数的方法:①任意选择4个数字，组成一个四位数，用这个四位数减去这4个数字的和.②任意选择4个数字，组成两个不同的四位数，再求出这两个四位数的差.③任意选择3个数字，组成一个三位数，用这个三位数加上这3个数字之和的8倍……

       虽然，改变的只是细微的一点点，但表演出来就是不一样的数学魔术.长此以往，学生的能力会得到不一样的发展.

       2.嵌入式

       嵌入式，就是一节课中有一两个环节围绕数学魔术展开.通常会在课堂教学的导入、探究、练习、总结等环节嵌入数学魔术，让数学课堂如同磁石一般牢牢地吸引住学生.

       (1)课前导入环节的魔术嵌入

       教学四年级《确定位置》一课，嵌入《猜猜姓什么》魔术.课前，教师将百家姓中常见的姓氏排在一个20×17的表格中.然后按照从下往上的顺序将每一列的17个姓氏分别誊写在一张卡片上(图2是第2列的17个姓氏)，再按照从左往右的顺序将每一行的20个姓氏分别誊写在一张卡片上(见图3是第11行的20个姓氏).每张卡片上姓氏的顺序都是从上往下、从右往左，且背面标明相应的列数或行数(图2反面标2，图3反面标11)，这样就得到了37张不同的卡片.其中，20张按列整理的卡片为蓝色，17张按行整理的卡片为红色.

       课始，将37张卡片分别发到不同学生的手中.首先，请一位学生将他最崇拜的一位科学家的姓氏(该姓氏在20×17表格中)悄悄告诉全班同学.接着，请学生检查手中的卡片上是否有那位科学家的姓氏，如果有就将那张卡片反扣到讲台上.必然有两位学生手中的卡片上有那位科学家的姓氏.这样，讲台上就有两张卡片.教师翻开其中一张，根据另一张反面朝上卡片上的数，找翻开卡片上的第几个姓氏(送上来的是图2和图3这两张卡片.若翻开图3，根据图2上的2，找图3上的第2个姓“袁”;若翻开图2，则根据图3上的11，找图2上的第11个姓，也是“袁”).教师说出答案，全班响起热烈的掌声.这时，教师告诉学生:等你学完这节课，你也可以拥有这神奇的魔力.

       (2)课中探究环节的魔术嵌入

       教学四年级《周期问题》一课，嵌入《听牌术》魔术.事先，教师将52张扑克按黑桃、红桃、梅花、方块……这样的顺序周期排列.课上，教师将扑克牌反扣在桌上，请一位学生切牌(即从一摞牌的上面任意拿几张，一起放到这摞牌的下面，不改变当中的顺序);接着，再请另一位学生说一个1—52中的数(假设是27);将一摞牌拿起，在耳边听一听，告诉学生第27张牌是什么花色;接着，全班一起验证.随后，将扑克牌正面朝上让学生观察，发现这副牌是按黑桃、红桃、梅花、方块……这样的顺序周期排列的.引导学生思考:在任意切牌之后，老师是如何知道第一张牌的花色的?讨论发现，老师听牌的时候，看到了最下面一张牌的花色，根据最下面一张牌的花色确定第一张牌的花色，即确定了这摞牌此时的周期规律.如果最下面是红桃，则第一张是梅花，这时的周期是:梅花、方块、黑桃、红桃、梅花、方块……再用那个数除以4，根据余数确定是什么花色.学生明白道理后，运用事先教师给每个小组准备的牌，在小组内表演刚才的魔术，玩得不亦乐乎.

       (3)课尾练习环节的魔术嵌入

       《用字母表示数》一课练习环节，教师带着学生玩《读心术》魔术:让学生在月历卡中框出九个数(如图4所示，抽象成一个9宫格)，从中任意圈出3个数;只要不在同一行，也不在同一列，老师就能猜出三个数的和是多少.揭秘时，引导学生思考:如果将左上角的数用字母a表示，其他8个数该如何表示呢?选出三个数的和是多少呢?不难发现，和都是3a+24.再问:如果把正中间的数用字母a表示，其他8个数又该如何表示呢?三个数的和又是多少呢?此时，和都是3a.学生恍然大悟，不仅发现了魔术的秘密，也练习了用字母表示数，体会到其具有的一般性.

       (三)教学要义

       小学数学教学中，如何更好地发挥数学魔术的育人价值?结合十多年的教学实践，我以为要把握好以下几点:

       1.用数学的眼光欣赏数学魔术

       数学教学中融入数学魔术，最终目标是学生数学素养的提升.因此，数学魔术要有数学味，要方便操作，更重要的是要引导学生学会用数学的眼光去欣赏，能透过语言、动作等看到数学的本质.

       比如，二年级《数据的收集与整理》一课，可以融入《我们不一样》魔术:将一副扑克牌分成两摞，请学生从其中的一摞中抽取一张放入另一摞中，教师从另一摞中找出放入的牌.操作时，要引导学生从数学的分类思想去发现，这个数学魔术的本质就是将扑克牌根据不同的标准(如单数、双数;红色、黑色……)分成两类，从一类中抽一张放入另一类中，放入的牌与其他牌是不一样的，据此，就很容易发现放入的那张牌.

       2.用数学的思维探究数学魔术

       对数学魔术原理的探究是核心，除了要符合学生的年龄特征，遵循学生的学习规律，更要让学生感悟其中的数学思想方法，学会思维.比如《召唤术》魔术，是将1(A)、2、3、4、5五张扑克牌按一定的顺序理好，反面朝上抓在手里.玩的过程为:数1，将手中最上面的一张牌反扣在桌上，然后召唤1，将手中最上面的一张牌翻开放到桌上，正好是1;数1、2，按顺序拿两张牌反扣在桌上，然后召唤2，翻开一张牌放到桌上，正好是2;再数1、2、3，按顺序拿三张牌反扣在桌上，然后召唤3，翻开一张牌放到桌上，正好是3……重复这个动作.手中牌用完时，将反扣在桌上的牌拿起来继续用(正面朝上的牌不能用了).学生惊奇地发现，召唤几就出现几.

       揭秘时，应引导学生通过列举的方法，发现五张牌的顺序:第二个位置放1，第5个位置放2，另外三个位置上的三张牌，有六种排序情况，可列出表格进行分析.答案是:3、1、4、5、2.

       3.用数学的语言揭示数学魔术

       数学魔术是以数学本质和数学原理为支撑的.教学中，要引导学生用规范的数学语言去揭示其隐含的数学本质和数学原理.

       比如《预言术》魔术:按规则抽出3张牌，补牌、数牌之后，桌面上的牌总是42张.揭秘时，要用数学语言来表达其中的规律:用字母a、b、c分别表示抽出的3张牌的点数，桌面上的牌总共是:［1+(13-a)+a］+［1+(13-b)+b］+［1+(13-c)+c］=14+14+14=42(张).按照这样的规律，如果抽取2张牌，桌面上就有2个14张，即28张牌.

       数学魔术融入小学数学教学，主要目标是服务于学生的数学学习，丰富学生的学习经历，带给学生不同的学习体验，在魔术操作、探究中实现“玩魔术、做数学”，从而在深度理解数学知识的同时，感悟数学思想，学会数学思维，落实核心素养的培养目标. 

       详见人大复印资料《小学数学教与学》2024年第9期