Day260/Total366
(一) 极值与最值
1. 函数的极值
函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)．如果对x0附近的所有点都有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(x0)．极大值与极小值统称为极值，称x0为极值点．
求可导函数f(x)极值的一般步骤
(1)先确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)=0的根；
(4)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值．
注：①可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是：x0是导函数的变号零点，即f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号导号．
②f′(x0)=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x^(3)，f′(0)=0，但x0=0不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x)=|x|，在极小值点x0=0是不可导的，于是有如下结论：x0为可导函数f(x)的极值点⇒f′(x0)=0；但f′(x0)=0(⇒)x0为f(x)的极值点．
2. 函数的最值
函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为f(x)=ax^(2)+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(m<x1<x2<n)
(1)当a>0时，最大值是f(x1)与f(n)中的最大者；最小值是f(x2)与f(m)中的最小者．
(2)当a<0时，最大值是f(x2)与f(m)中的最大者；最小值是f(x1)与f(n)中的最小者．
一般地，设y=f(x)是定义在[m，n]上的函数，y=f(x)在(m，n)内有导数，求函数y=f(x)在[m，n]上的最大值与最小值可分为两步进行：
(1)求y=f(x)在(m，n)内的极值(极大值或极小值)；
(2)将y=f(x)的各极值与f(m)和f(n)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
3. 解题方法总结
(1)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，则
不等式f(x)>a在区间D上恒成立⇔f(x)min>a；
不等式f(x)≥a在区间D上恒成立⇔f(x)min≥a；
不等式f(x)<b在区间D上恒成立⇔f(x)max<b；
不等式f(x)≤b在区间D上恒成立⇔f(x)max≤b；
(2)若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(m,n)，则
不等式f(x)>a(或f(x)≥a)在区间D上恒成立⇔m≥a．
不等式f(x)<b(或f(x)≤b)在区间D上恒成立⇔m≤b．
(3)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，即f(x)∈[m,n]，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式a<f(x)在区间D上有解⇔a<f(x)max；
不等式a≤f(x)在区间D上有解⇔a≤f(x)max；
不等式a>f(x)在区间D上有解⇔a>f(x)min；
不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥f(x)min；
(4)若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(m,n)，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式a<f(x)(或a≤f(x))在区间D上有解⇔a<n
不等式b>f(x)(或b≥f(x))在区间D上有解⇔b>m
(5)对于任意的x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max；
(6)对于任意的x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min；
(7)若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min；
(8)若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max；
(9)对于任意的x1∈[a,b]，x2∈[m,n]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min；
(10)对于任意的x1∈[a,b]，x2∈[m,n]使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max；
(11)若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)max
(12)若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)min．
附：高一、高二上学期期末备考专题
<本文完>
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