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统计软件 | JMP
3D 打印是一种快速成型技术，具有诸多优势，例如适用于复杂零部件的制造、缩短研发周期等。然而，随之而来的是需要解决打印速度和质量等关键问题。在这种情况下，实验设计成为了解决方案之一，它将统计建模与工程经验完美结合，帮助工程师确定最佳的3D打印参数。
而在实验设计中，组正交超饱和设计（GOSSD）通过其独特的正交性质，为我们提供了实验次数可以少于因子数的设计方法，用于快速而有效地优化3D打印工艺参数，在提升 3D 打印质量的同时，明显缩短打印时间！
本系列文章中，我们将会介绍两部分内容：
从 3D 打印的现状和挑战出发，探讨GOSSD如何适配3D打印参数优化场景。
透过实战案例，看到 GOSSD如何帮助我们实现更高效、更优质的 3D 打印。
本文作者
潘老师 - JMP 数据分析师
本篇文章，我们将从3D打印的现状和挑战出发，探讨GOSSD如何适配3D打印参数优化场景。
首先，让我们快速了解3D打印技术的优势和应用吧！
3D 打印（3D Printing）又被称为增材制造（Additive Manufacturing），是一种快速成型技术，通过逐层打印的方式来构造物体。3D 打印已在航空航天、消费电子、医疗、汽车、机器人、学术研究等领域广泛应用。
3D 打印相比传统工艺具有众多优势，例如：
适用于制造复杂物体
节省材料、降低成本
缩短研发制造周期
轻量化、一体化成型
满足定制化需求
考虑到复杂零部件制造需求和3D打印的定制优势，目前 3D 打印技术已成功应用于 GE9X 航空发动机 TiAl 合金叶片、“人族1号”（Terran 1）运载火箭箭体结构、Eurostar E3000卫星支架、C919飞机钛合金部件、折叠屏手机 Magic V2铰链轴盖等。
3D 打印看起来很酷，可是实现的过程可不简单呢！
3D 打印技术是目前引领科技风潮的高端技术之一，3D打印未来走向批量化生产，需要解决三大关键问题：价格、速度和质量。
随着 3D 打印的快速发展，产品种类也不断增多，为了满足产品指标要求、提升产品良率和制造效率、降低成本和能耗，往往需要根据定制场景优化工艺参数。
实现 3D 打印的规模化应用，仅在生产制造的工艺参数优化方面就面临诸多的挑战，例如：
3D 打印过程涉及的参数众多，产品的性能同时取决于材料、结构和工艺参数，打印过程易形成多种缺陷，打印质量难以保证。
3D 打印过程存在复杂、动态的影响因素，工程师不能仅依赖静态材料数据库中的值，也不能对所有产品均采用设备推荐值进行打印。
3D 打印时间往往较长，打印成本较高。
3D 打印涉及这么多的工艺参数，是不是可以采用实验设计进行参数优化呢？
01
实验设计：
助力工艺参数优化
如何利用有限的资源确定最佳的3D 打印参数？这是工程师在采用3D打印优化产品性能和质量时面临的主要问题。即便有充分的专业领域知识和工程经验，可面对众多的设置和变量在起作用，很难准确理解每个变量如何影响 3D 打印质量和时间。
实验设计（DOE）作为研究和处理多因子与响应变量关系的一种科学方法，它通过合理地挑选实验条件，安排实验，并通过对实验数据的分析，可以找出总体最优的改进方案。工程师可以通过专业知识和工程经验确定潜在的影响因素，同时可以借助实验设计筛选关键影响因子，通过有限次的实验建立统计模型，发现因子和响应之间的规律，快速找到最优工艺参数组合。
可是 3D 打印的因子数量众多，实验成本又很高，有没有办法采用少于因子数的实验次数来设计实验呢？
有！GOSSD！
02
组正交超饱和设计（GOSSD）：
高效筛选显著因子
1
GOSSD 是什么？
在介绍组正交超饱和设计
(Group-Orthogonal Supersaturated Designs, GOSSD)之前，我们先来了解一下超饱和设计(Supersaturated Designs, SSD)。
"A supersaturated design is a design that has fewer observations than parameters in the model. "
—— Jones, B., Lekivetz, R., Majumdar, D., Nachtsheim, C. J., and Stallings, J. W. (2019).“Construction, Properties, and Analysis of Group-Orthogonal Supersaturated Designs.”Technometrics 62: 403 - 414.
超饱和设计是一类实验次数可以少于因子数的设计方法。如果测试的目的是从很多潜在的影响因子中找出少量最显著的因子，应用超饱和设计就有可能极大地节省资源和时间。
GOSSD 结合了超饱和设计和组间正交设计的特点，不仅可以实现实验次数少于因子数，而且可以极大限度规避显著因子漏选和不显著因子错选的问题，从而极大地提高因子筛选效率。
实验次数少于因子数，还能规避混杂，确实很适合于优化 3D 打印工艺参数，真的有办法实现吗？
熟悉实验设计的 JMPer 应该对 Bradley Jones 很了解，他在介绍 GOSSD 时，经常提到他的同事 Randy Tobias 对超饱和设计的评价。
"Supersaturated designs are evil."
—— Randy Tobias (SAS)
何出此言呢？因为超饱和设计听起来很不现实：
设计矩阵是奇异的，因此多元回归失效
因子效应混杂很复杂
不能不劳而获
但尽管如此，超饱和设计的魔力仍在驱使其不断发展。回顾超饱和设计的历史，1959 年 Satterthwaite 提出应用随机设计实现实验次数小于测试因子数的可能，1962 年 Booth and Cox 正式系统性的提出超饱和设计的理念，并定义了 E(s2) 作为评估设计优劣的参数。此后更多的统计学家在此基础上不断优化 E(s2) 的算法。2014年， Jones and Majumdar通过D-最优方法来构建超饱和设计实验，并提出优化后的UE(s2) 能更好的评估因子效应。
2019年，Jones等人提出了组正交超饱和设计(GOSSD)。这种新方法通过两个矩阵的Kronecker乘积构造超饱和设计。设计的动机最初是创建一个超饱和设计，该设计具有几列（例如，三到五个）与其他列正交，不会分配给任何因子，但可以保持未标记，并用于提供方差的无偏估计。该构造方法导致设计因子被分成若干组，使得一组内的因子与同一组内其他因子相关，但与任何其他组中的任何因子正交。这种关联结构有两个优点。首先，假设二阶或更高阶效应可以忽略不计，如果将“伪因子”或“假因子”分配给任何一组，就能够得到方差的无偏估计，即找到了一种将信号与噪声分离的有效方法。其次，可以利用组间正交性来开发一种有效的、基于设计的模型选择程序。
不明觉厉，GOSSD 的理论很复杂的样子，那么构造如此精巧的组正交超饱和设计，具体优势体现在哪里呢？
2
GOSSD 的优势
组正交超饱和设计通过每一个单独区组内的折叠对称结构，实现了以下效果：
每个组内因子的主效应和同一组内任意两个因子的交互效应正交
每个组内因子的主效应和本组内任意一个因子与另一个组内任意一个因子的交互效应正交
每个组内因子的主效应和其他组内任意两个因子的交互效应正交
这些正交性的存在，保证了模型拟合中因子不相互混淆，使组正交超饱和设计在极大限度上避免了其他饱和设计显著因子被漏选，不显著因子错选的问题，从而大大提高了筛选效率。
GOSSD 如此强大，应该如何应用呢？
3
GOSSD 的应用场景
下面几个场景比较适合考虑 GOSSD：
实验很昂贵
头脑风暴通常会产生几十个可能的因子
昂贵的计算机模拟实验有很多因子
没有数据的情况下主观排除因子是不可行的
4
GOSSD 的应用策略
较多组好于较少组
被认为活跃的因子应该分别放入不同组
选择因子水平，以使预期系数为正
因此，GOSSD 很适合于在工艺参数众多而实验资源有限的情况下高效筛选因子。
下一篇文章，我们将会为您带来 GOSSD 实战案例，如何通过 24 次实验的组正交超饱和设计（GOSSD），我们找到包含 28 个因子的优化参数组合，在提升打印质量的同时，明显缩短打印时间！
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