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数据分析软件 | JMP
本文作者
吴老师 - JMP 数据分析师
在拟合模型平台中，杠杆图最常见且包含很多数据后背的潜在信息，今天这篇文章，我们就来着重介绍一下杠杆图，希望大家能够对判读图形背后的含义有全新的启发。
杠杆图(Leverage Plots)与散点图(Scatter Plots)有点相似，其主要差异为散点图无法同时考虑其他效应项对估计效应项的影响（图 1），斜率可以看出有差异，尤其发生在多个效应项要一同评估的时候。
图 1 杠杆图 VS 散点图
下图显示了如何在杠杆图中描述残差。从某个点到拟合线的距离是包含该效应的模型的残差。从该点到水平线的距离是模型中不含该效应时的剩余误差。换言之，杠杆图中的均值线表示参数（效应）的假设值被限制为 0 时的模型。
通过杠杆图，我们能发现什么？
杠杆图通常可以帮助我们发现下面的现象：
1. 不寻常的图形模式或是有违反模型的假设
2. 多重共线性
3. 特殊有影响的观测值或异常值
JMP 中的杠杆图
JMP 提供两种杠杆图参考。
1
效应杠杆图
（Effect Leverage plots）
在给定其他效应项在模型中时，预估计效应项的影响。
图 2 效应杠杆图
效应杠杆图（图 2）本质上是 X 残差对应 Y 残差的分布图。
X 残差
X 残差是估计效应项 Xe 与其余的预测变量进行回归分析后得到的残差（公式 3）。
公式 3
Y 残差
Y 残差是由排除了该估计效应项 Xe 后，其余的预测变量与 Y 进行回归分析得到的残差（公式 2）。
公式 2
为了更好地与其他杠杆图做比较，JMP 将 X 残差以及 Y 残差分别加入估计效应项 Xe 均值与 Y 的均值并绘制在杠杆图中，又称 X 杠杆值与 Y 残差杠杆值。
如前文中图 2，搭配最小二乘法（least squares）拟合直线（红色线）并且加入置信区间，其效应杠杆图中拟合线斜率 βe（公式 4）与 Y 拟合所有 X 效应项得到 Xe 的系数 βe（公式 1）相同；而斜率不为 0 时，代表 Xe 效应项可以解释 Y 的变异，蓝色线为 Y 杠杆值的均值，可以用来协助判断 X 残差与 Y 残差有无线性关系，当拟合线越接近蓝色线，代表加入 Xe 效应项无法解释 Y 的变异，等同于 Y 变异充分地被 Xe 以外其他效应项解释，Y 残差会趋近于 0（公式 2），所以 Y 残差杠杆值会趋近于蓝色线（图 3 最右手边不显著的那张图）。
如何判断要估计的 X 效应项是否显著呢？如同前述，当红线越靠近蓝线时，且信赖区间包含蓝线时，该效应项不显著，假设红线越倾斜，且信赖区间不包含蓝线，代表该效应项显著，假如杠杆观测点都很接近中心，则需要进一步针对效应项确认（图 2）Y 残差由排除了该估计效应项 Xe 后，其余的预测变量与 Y 进行回归分析得到的残差（公式 2）。
总结前文所述公式 👇
2
全模型杠杆图
（The Whole Model leverage plot）
了解是否有任一效应项会影响 Y 的变异。
针对全模型杠杆图（图 4）是考虑所有效应项绘制在图型上，不考虑截距项，预测值绘制在 X 轴，实际值绘制在 Y 轴，其原（虚无）假设为效应项都不显著。
图 4 全模型杠杆图
案例
下面介绍几个帮助大家进行杠杆图判断的案例。
1
案例一
以解释变数 PNP1 和 PNP4 与 Y: NPN1 建立模型，从杠杆图能够获得什么信息?
吴老师
效应杠杆图发现点会向 X 轴中间集中，因为 X 轴为 PNP1 与 PNP4 做完回归分析得到的残差，代表 PNP1 与 PNP4 具有共线性，置信区间也包含蓝色线，代表效应不显著。
图 5
首先确认 PNP1 和 PNP4 的相关性，使用 JMP Multivariate 平台进行分析，PNP1 与 PNP4 出现高度相关（图 6）。
图 6
由效应估计表（图 7）中的 VIF 远大于 10，也知道 PNP1 与 PNP4 为高度共线性，需要再做后续的多变量分析处理如主成分分析等。
图 7
结论：杠杆图能了解参数间是否具有共线性问题。
吴老师
2
案例二
以解释变量 PNP1 和 IVP1 与 Y: NPN1 建立模型，请试着解释杠杆图（如图 8）所呈现的结果。
图 8
结论：图中很明显有一异常点，由红色线与蓝线几乎重合的情况可判断 IVP1 与 PNP1 皆不显著，从全模型杠杆图也可看出包含两变数的模型无法充分解释 Y 的变异。
吴老师
总结
可以在解读分析报表前，图形化的 JMP 杠杆图可以帮助我们了解 Y 与 X 效应项间的关系、X 效应项间自身的关系以及异常点等问题判断，此外也避免使用的一对一散点图判断，从更全面及直观的角度去分析数据。
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