分层线性模型
分层线性模型（Hierarchical Linear Model, HLM），是专门用于分析嵌套数据结构的统计模型。这种模型能够同时处理多个层次的数据，研究不同层次变量对因变量的影响，是社会科学、教育研究和医疗等领域的常用方法。
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基本结构
1. 单层线性模型（OLS回归）
传统线性回归假设数据是独立同分布的，模型形式为：
Yij=β0+β1Xij+ϵij
Yij：第 j 个个体的因变量。
Xij：第 j个个体的自变量。
ϵij：误差项。
但在嵌套数据中，不同群体内的个体通常不是独立的，会导致误差项之间存在相关性。因此需要引入分层模型。
2. 两层分层线性模型
一级模型（个体层面）：
二级模型（群体层面）：将截距和斜率进一步分解为群体层面的固定效应和随机效应：
合并模型：将一级和二级模型合并后：
模型解释
a. 固定效应：
b. 随机效应：
c. 误差项：
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适用场景及优势
教育领域：学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中。
医疗研究：患者嵌套在医院中，医院嵌套在地区中。
企业管理：员工嵌套在部门中，部门嵌套在公司中。
社会科学：个体嵌套在家庭中，家庭嵌套在社区中。
HLM的优点
控制嵌套效应：能够将群体间的差异与个体间的差异分开，避免传统回归分析中的独立性假设被打破。
跨层次分析：可以同时研究个体层面和群体层面的影响。
灵活性强：支持复杂的嵌套结构和随机效应建模。
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流程讲解
假设问题场景
你想研究学生的考试成绩受哪些因素影响，但你知道：
学生的成绩会受个体因素影响，比如学习时间、兴趣等。
学生所在的班级也可能影响成绩，比如班级的教师水平、学生人数等。
这就是典型的“嵌套数据”：学生嵌套在班级中。
分层线性模型（HLM）能够分析学生层面和班级层面的因素，具体流程如下：
第一步：明确研究问题和数据层次
我们需要研究两个层次：
个体层面（一级）：学生的个人特性，比如学习时间、兴趣。
群体层面（二级）：班级的整体特性，比如教师经验、班级规模。
第二步：搭建模型
HLM要拆解成两部分来理解：
1. 一级模型（学生层面）
用来分析学生的成绩（因变量）如何受个人特性影响：
2. 二级模型（班级层面）
在二级模型中，考虑班级特性如何影响成绩：
简单理解：
班级平均成绩不仅和班级的“教师经验”、“班级规模”有关，还可能因班级随机差异而不同。
学习时间对成绩的影响也可能因班级不同而变化。
第三步：把模型合并
把一级模型和二级模型合并，得到最终模型：
第四步：数据准备
为了实现模型，准备数据：
每个学生的数据（学习时间、兴趣、成绩）。
每个班级的数据（教师经验、班级规模）。
确保数据能识别“学生属于哪个班级”。
第五步：运行模型
使用统计软件，比如：
SPSS：选择“线性混合模型（Linear Mixed Model）”。
R包
第六步：结果解读
固定效应（固定因素的总体影响）：
随机效应（个体或班级间差异）：
模型拟合度：用AIC/BIC等指标评估模型好坏。
总结
HLM的流程可以简化为：
分清数据层次（学生—班级）。
分别建模（一级看学生，二级看班级）。
合并模型（兼顾个体和群体因素）。
运行分析，解读结果。
简单来说，HLM帮你回答两个问题：
学生成绩为何不同？
学生成绩的差异中，哪些是由学生个人决定的，哪些是由班级环境决定的？
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实际例子
Using HLM to Determine a STEM Programs Impact on Middle School Academic Achievement
研究背景：
使用HLM分析嵌套数据集越来越流行，尤其是在评估学校内部特定教室提供的专业学术项目的影响。STEM教育政策和举措对学生成就的影响报告了不同程度的成功。
研究方法：
参与者：5至8年级的学生和教师，时间跨度从2012-2013至2018-2019学年。
环境：美国东北部俄亥俄州的一个中等规模城市学区。
工具：使用俄亥俄州州考（OST）成绩作为学术成就的衡量标准。
HLM模型构建：
研究者构建了两个HLM模型来回答两个子问题：
中学综合STEM项目是否对学生在数学和科学上的成就有积极影响？
中学综合STEM项目是否对学生在科学上的成就有积极影响？
数据分析：
通过HLM分析，研究者发现STEM教育对学生在数学和科学综合成绩（平均得分高31.8分）和科学成绩（平均得分高38.2分）上有显著的正面影响。没有发现STEM参与和学生因素（如性别、社会经济地位、种族和出勤率）之间的交互效应。
结论：
HLM是分析嵌套数据集中专业学术项目对学生成就影响的强大统计工具。STEM项目对学生的数学和科学成绩有显著的正面影响。
hlm.pdf（原文）
END
