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之前的文章《粉丝六六六~|~代数几何中的超越方法和 Weil 猜想简介(文中附代数几何文章全集汇总)》中我们提到了超越方法和 Weil 猜想 , 故打算利用这个月的周末时间继续翻译和补充 Hartshorne 的经典著作《代数几何》的附录部分 . 本文是代数几何中的超越方法(下篇) , 主要内容包括紧复流形成为代数流形的条件的后半部分 ，Kahler 流形与指数序列 .

3.紧复流形成为代数流形的条件

我们紧接着昨天的文章《周末代数几何特辑~|~代数几何中的超越方法(上篇)》继续讨论 , 下面我们来描述两个由 Hironaka 给出的具有相似结构的例子 , 第一个是 上的三维非异完全代数簇但不是射影簇 , 第二个是三维 Moishezon 流形但不是代数流形 .

例2：令 为任意的三维非异射影代数簇 , 取两条非异曲线 , 它们横截相交于两个点 和 且没有其它交点 , 如上图所示 . 在 上我们先胀开曲线 , 紧接着胀开曲线 的严格变形 , 而在 上我们先胀开曲线 , 紧接着胀开曲线 的严格变形 , 然后在 上胀开曲线 和 , 此时可以发现这个过程与次序无关 , 于是可以将胀开的簇沿着 的逆像粘合起来 , 结果可以得到一个非异完全代数簇 , 我们需要证明 不是射影代数簇 , 顺便我们可以推出双有理态射 不能分解为独异变换的任意序列 , 毕竟 不是射影态射 . 为此我们必须验证在点 的邻域中发生的情形 , 设 是 的一般点在 在的逆像 ,   是 的一般点在 在的逆像 , 注意到 和 是射影直线 , 故 的逆像由两条直线 组成 , 且满足环元之间的代数等价即 和 , 事实上它们的非对称性来源于胀开着两条曲线的次数 . 现在来看在点 的邻域中发生的相反情形 , 此时 是两条直线 和 的并 , 以及满足代数等价 和 , 将上面所有的等价关系合起来就得到 , 因为曲线的次数为正整数且次数是可加的 , 它又在代数等价意义下保持不变 , 所以 不是射影簇 .

例3：我们仍然像例2一样 , 从任意的三维非异代数簇开始讨论 , 设 是 上的曲线且除了一个二重点 以外处处非异 , 以及这个二重点具有不同的切向 , 在点 的一个充分小的解析邻域内 , 我们可以先胀开一个分支 , 然后再胀开另一分支 , 而在邻域之外则张开曲线 , 把它们粘合起来就得到了紧复流形 . 由于 上的半纯函数与 相同 , 故很显然 是 Moishezon 流形 , 于是我们要证明 不是抽象代数簇 . 如上图所示 , 采用和例2相同的记号 , 则有同调等价关系 , 和 , 因为这两个分支在点 以外相交 , 所以有 , 如果 是代数簇 , 那么它不可能出现这样的情形 . 事实上如果 是代数簇 , 那么我们设 是 上的一点 , 于是 在 中就会有一个仿射邻域 , 再设 是 中的一个经过 但不包含 的不可约曲面 , 取 的闭包扩张为 中的曲面 , 此时 和 相交于有限个点 , 进而 与 的相交重数有定义且满足 , 但是这个相交重数是在同调类上定义的 , 这意味着不能有 , 因此 不是代数簇 .

此时我们应该提及 Artin 和 Knuston 给出的代数空间 , 即在任意的域 上定义的一个代数空间是指某种局部为概形对于一个平展等价关系的商空间 , 代数空间范畴包含了概形范畴 . 如果 是 上有限型代数空间 , 那么就可以定义 的相伴复解析空间 , Artin 证明了 上的光滑的本征代数空间范畴通过函子 等价于 Moishezon 流形范畴 , 这表明每个 Moishezon 流形在代数空间的意义下是代数流形 , 特别地上面的例3给出了 上的代数空间不是概形的例子 .

4. Kähler 流形

微分几何对于紧复流形即复数域上的代数簇的研究提供了强有力的工具 , 在微分几何的这些应用中 , 值得注意的是 Hodge 的调和分解理论以及通过它得到的分解就可以将复上同调群分解为 型 , 详细内容可以参考 Weil 的专著《Variétés Kählériennes》, 另外 Kodaira 和 Nakano 的消灭定理已经被 Grauert 和 Riemenschneider 进一步推广 , 还有就是 Griffith 的关于中间 Jacobi 簇与周期映射方面的工作 , 我们就不一一列举了 , 不过我们重点关注 Kähler 流形这个概念以及它是如何帮助刻画代数复流形的特征的 .

任何一个复流形具有一个 Hermite 度量 , 而一个 Hermite 度量的相伴微分 -形式是 型的 , 如果它是闭形式 , 那么就称这个度量为 Kähler 度量 , 具有 Kähler 度量的复流形称为 Kähler 流形 . 很容易可以证明复射影空间就有一个自然的 Kähler 度量 , 故每一个射影代数流形在它的诱导度量下是 Kähler 流形 , 如果一个 Kähler 流形 的度量的相伴微分形式在 中的上同调类落在整系数上同调群 的像中 , 那么就称 是一个 Hodge 流形 , 下面我们给出一个基本结果 .

定理7(Kodaira): 每一个 Hodge 流形是射影代数流形 .

定理7可以看作《周末代数几何特辑~|~代数几何中的超越方法(上篇)》一文中定理3的推广 , 原因是每一个一维紧复流形显然是一个 Hodge 流形 , 然后我们还有下面的结果 .

定理8(Moishezon): 每个具有 Kähler 度量的 Moishezon 流形是射影代数流形 .

我们总结一下复流形的性质之间具有下图所示的蕴含关系 , 并且有例子证明不可能有更多的蕴含关系了 .

5.指数序列

通过考虑指数序列 , 我们给出使用代数几何中的超越方法的一个简单的例子 . 指数函数 给出 Abel 群的一个正合序列 , 其中对于 赋予加法结果 , 而对于 赋予乘法结构 , 如果 是任意既约复解析空间 , 那么我们考虑 取值于上面正合序列的全纯函数 , 于是得到层的正合序列 , 其中 为常值层 , 为结构层 , 而 是 中含有乘法可逆元的层 .

下面我们来讨论这个层的正合序列 的上同调序列 , 设 是 上的射影代数簇 , 随后将这个层的短正合序列运用于  . 在 这一段中 , 由于整体全纯函数是常数 , 故层的正合序列恢复为原来的群的正合序列 , 然而从 这一段开始才有长正合序列

根据《周末代数几何特辑~|~代数几何中的超越方法(上篇)》中的定理1—— Serre 定理可知 , 有 , 另一方面对于任意环层空间 均有 成立 , 同时《周末代数几何特辑~|~代数几何中的超越方法(上篇)》中的定理1—— Serre 定理也给出了它们凝聚层范畴的等价性 , 故有 , 于是我们可以将上面的上同调的长正合序列改写为

这里唯一的非代数项是 的整系数上同调群 , 毕竟任意代数簇均是可剖分空间 , 详细内容可以参考 Hironaka 的文章《Triangulation of algebraic sets in Algebraic Geometry》 , 而上同调群 则是有限生成 Abel 群 , 进而由这个序列就可以推导出有关 的 Picard 群的某些结论 .

事实上我们容易看出代数等价的 Cartier 除子给出了 中相同的元 , 故 的 Néron-Severi 群是 的子群 , 进而是有限生成群 . 另一方面 , 代数等价于零除子的除子的线性等价类群 同构于 , 可以证明它是一个复环体 , 其实它还是一个 Abel 簇即 的 Picard 簇 . 而如果 是亏格为 的非异曲线 , 那么就可以更加清楚地知道其上发生的情形 , 此时 是亏格为 的紧 Riemann 面 , 作为拓扑空间则是一个紧的定向实二维流形且同胚于装备有 个环柄的球面 , 因此可以得到 和 , 注意到 , 故 , 即它是 的 Jacobi 簇即为一个 维 Abel 簇 , 此时自然有 Néron-Severi 群 , 这里的同构由次数函数给出 .

代数几何中的超越方法的内容完结 , 敬请期待代数几何中的 Weil 猜想……

参考文献和推荐阅读：

Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .

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