原文标题戏称普朗特（Prandtl）是传热学界的“懂王”，被平台判断为涉嫌违反相关法律法规，已删除。
言归正传，有朋友觉得，上次聊得意犹未尽，今天在前文的基础上略作扩充。
我们谈到普朗特数（Pr）的物理含义是运动边界层厚度与热边界层厚度的相对比例，这是源于杨世铭陶文铨著《传热学》的解释。
但是仔细一想，这有一定的歧义。
随着流动和热的发展，运动边界层和热边界层的厚度会越来越厚，那这个相对比例就应该也是变化的。
然而，Pr数是一个物性参数的组合，Pr=动力粘度*比热容/导热系数，按理说是一个常数。
那么问题来了，这个比例到底是变化的，还是一个定值呢？
具体地，如果对于一个流动和热都充分发展的平板间流动，那么运动边界层和热边界层的厚度相等，都是平板间距的一半距离，那这意味着Pr数等于1吗？
显然存在一定的矛盾。那如何调和这个矛盾呢？
有趣的是，在Bejan所著的《Heat Transfer Handbook》中，将普朗特数看作是热发展段长度（XT）与运动发展段长度（X）之比：
这么一说，似乎就无懈可击了。正是因为普朗特越小，运动发展段长度相对于热发展段要更长，就自然有在入口的时候运动边界层更薄，也符合了陶文铨《传热学》中的论述。
在Bejan的书中，还给出了运动边界层发展段长度的估算方法：
这是一个大致的数字，在施利希廷（Schlichting）著的《边界层理论》一书中，对于圆管内流动，将这个比例进一步量化为0.04，从下图摩擦阻力系数的变化中可以更加可视化地理解入口段：
圆管内的局部阻力系数变化
而对于平板间流动，R. K. Shah总结出如下的计算式：
《Laminar Flow Forced Convection in Ducts. A Source Book for Compact Heat Exchanger Analytical Data》
举个例子，假如一个平直翅片散热器的长度（L）是100mm，水力直径是两倍板片间隙（2s）为8mm，假设板片间流速是4m/s：
通过EES软件查询，30摄氏度时空气的运动粘度0.000016[m^2/s]，则雷诺数（Re）为4[m/s]*0.008[m]/(0.000016[m^2/s])=2000，那么流动入口段长度为0.011*2000*8[mm]=176[mm]，这远大于散热器长度100！
因此对于这样的风冷散热器，流动入口段效应将十分重要，在选用摩擦系数和对流换热系数计算公式时，不能使用仅适用于流动充分发展的关联式——即标明Pr为∞的情况（流动发展段长度极短）。
与流动发展段长度估算对应的，自然我们想知道热发展段长度如何估算。
Bejan好人做到底，又给出了热发展段长度的量级估计如下：
但是，这仍然是一个相对粗略的值，我们想要更为具体。
所幸，伟大的R. K. Shah早就为我们铺平了道路，在他不朽的《Laminar Flow Forced Convection in Ducts. A Source Book for Compact Heat Exchanger Analytical Data》一书中，对于平板间的热发展段，无论是速度充分发展还是发展中的情况，均有无量纲热发展段长度如下：
| Pr | XT/(Dh*Re*Pr) |
| 0.01 | 0.030 |
| 0.7 | 0.017 |
| 1 | 0.014 |
| 10 | 0.012 |
| ∞ | 0.0115 |
为了将上述长度可视化，再次贴出下图：
可以直观地看到，Pr数越小，其达到热充分发展时（表现为Nu数渐平）的横坐标无量纲长度越大。
同样，更具体地，以上面那个散热器为例，计算其热发展段长度。热发展段长度XT = 0.017*2000*0.724*8[mm]=197 [mm]，可见也远大于散热器长度100 [mm]。
至此，热发展段与运动发展段长度之比，可进一步量化为197 [mm]/176 [mm]= 1.119，即二者在同一个数量级的意思。
总之，在以上的散热器实例中，不能简单地采用热充分发展的关联式（这是很容易找到的）进行计算，而应该采用流动和热边界层同时发展的数据（这个数据获取十分不易）。
例如，Bejan所著的《Heat Transfer Handbook》中提供适用于无限大等温平板间流动和热同时发展的关联式如下：
以上Nu数的关联式适用于等温平板边界条件，而对于恒热流平板边界条件是否适用呢？
更深的疑问是：对于电力电子散热常用的平直翅片散热器，其热边界条件究竟更接近于等温平板，还是恒热流平板？
这些疑问，还有待解答。
