不是标题党，傅里叶导热定律的确建立在热扰动的传播速度比光速还快的假定之上。假定假定，当然是“假”的，但并不妨碍我们借“假”修“真”！所谓的绝对的真理，也许并不存在，一种理论如果能够用来解释大千世界的现象，也不失为一种“真”。
在上一篇应景国足比赛的文章中，我们讨论了时间延迟现象，还顺带插播了一个瞬态导热问题，用以类比人文世界的因果延迟。读者们对这一问题的结论并不陌生——在某一热扰动作用下，一定距离远处的温度变化具有一定的时延。但是，也有读者对于这一问题的求解过程感兴趣，即文章中的温度变化曲线图如何得到的？答案是，用EES软件（本号其他文章多次安利过）求解导热微分方程。
首先明确边界条件：假设导热对象一侧为恒热流输入，另一侧为对流换热，忽略其他方向的传热；在此基础上，将导热对象沿x方向进行离散化：![]()
之后可以根据傅里叶导热定律和能量守恒定律（每个微元左右边界处的净热量传递=微元本身内能的变化），对每一个微元列出方程：剩下的事情就可以交给EES软件了，其内置的求积分功能可以求解以上的微分方程组。上篇文章那个漂亮的温度变化曲线图，也是用EES自带的绘图功能完成的。![]()
但是故事并没有到这里就结束了，如果我们再思考得深入一点，会发现距离热源一定远处的节点，无论经历多么短的一段时间，总能瞬时感知热源的变化，这就意味着热扰动的传播速度是无穷大的！
这似乎与我们的直觉经验相悖，当我们端着一盘烫手的菜，我们知道越快端到桌子上越不易被烫到手——热量的扩散速度是“有限的”，我们可以与热量赛跑！
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事实上，傅里叶导热定律仅仅是一个唯象定律，它的主要贡献是能够解释绝大部分的实验现象和工程实际；然而热扰动传播速度无限大的这个假定确实是一个理论上的缺陷，历史上有很多物理学者对这个问题进行了探索和尝试改进。这样一个理论缺陷，并不会对我们的工程应用造成多大困难。试想一下，虽然热扰动的传播“无限快”，但传递的热量是微乎其微的，比如仅仅产生了0.001℃的变化，我们即使用很精密的测温仪器也无法感知到，这样我们就可以认为热量的传递速度的确是有限的了。要想在一定远处产生有限大小的能感知的温度变化，是需要一定时间的，如何去量化评估这个时间呢？这就需要了解一个叫做“扩散时间常数”的概念。假设有一个半无限大的导热体，在其表面突然施加一个高温边界条件，此时导热体内将会随着时间流逝而渐次升温。![]()
与这个高温边界距离为L的某处，它感知到温度升起的时间大约是：
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这就是扩散时间常数，其中，α是热扩散系数（导热系数/密度/比热）。
比如0.5cm厚度（L）的陶瓷碗，里面突然倒入滚烫的水煮鱼，设陶瓷热扩散系数约为1E-5 m^2/s，则可计算得到扩散时间常数等于0.625 s，即大约这么长时间后陶瓷碗的另一面会开始感知到温度的升起。
当然，日常生活用不着这么精确，即使烫到了，赶紧抓住耳朵吧！
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本文参考了以下书籍：
Heat Transfer, Gregory Nellis, Sanford Klein, 2009 第3.3章节 1维瞬态导热
传热学(第四版)高教，第3章 非稳态热传导
