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分形维数 (Fractal Dimension)，是描述几何形状 复杂程度 的统计量。
更通俗来讲，分形维数描述的是，随着测量尺度的变化，形状在细节上的变化。
如果一个图形的分形维数越大，那么可以说这个图形越“粗糙”，放大之后也能看到很多细节，即这个图形更复杂：
对于规则的分形，可以直接利用 Scaling rule 进行计算：
D 代表分形维数，N 代表单位长度的数量，𝜀代表单位长度和原图相比的缩小比例。
例如对于 Koch snowflake 来说，图形由 4 个单位长度构成，每个单位长度是原图长度的 1/3，则：
对于现实情况中无规则的形状，则可以采用 Box Counting 的方法，通过统计图形占不同大小网格 (Box) 的数量。然后，计算网格数量和对应的网格比例之比。最后进行线性回归得到斜率，来计算分形维数：
图源：维基百科
进行分形分析之前，务必看一下这个视频，了解分形维数是怎样通过 Box counting 的方法，计算出来的：
https://www.bilibili.com/video/BV1wx411C7WT/?from=search&seid=8168926363651608613
这篇文章会介绍怎样利用 Fractal Box Count 以及 FracLac 这两个插件进行分形分析，得到分形维数。
这篇文章只介绍最简单的 Box counting 方法，测量二值化图像的分形维数，更多插件的功能需要详细阅读官网说明：
https://imagej.net/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Introduction.htm
一、利用 Fractal Box Count 插件测量分形维数
Fractal Box Count 是 ImageJ 自带的，插件位置：
Analyze - Tools - Fractal Box Count
（1）打开图片，转成8-bit并二值化（Image -> Adjust -> Threshold）
设置好 Threshold，点击 Apply 即可把图像二值化。
（2）打开插件（Analyze -> Tools -> Fractal Box Count）
初始化参数，这张图片二值化后，白色部分 (pixel value = 255) 是想要的信号，黑色是背景，所以勾选 Black Background。
Box Sizes：即哪些尺寸的框进行统计，Box Sizes 不能设置过大，要根据分形本身所占多少 pixel 来定。如果线性回归的结果比较好，可以不做改动。
点击 OK 之后，即可得到线性回归结果，以及分形维数 D：
二、利用FracLac插件测量分形维数
首先需要在官网下载插件：
https://imagej.net/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Installation.htm
或 公众号后台回复“分形”获取插件：
得到 Frac_Lac.jar 文件后 plugins 文件夹（Fiji的安装目录）下：
重启 ImageJ 即可。
（1）打开图像，二值化（同上）
（2）打开插件（Plugins -> Fractual Analysis -> FracLac）
插件界面
FracLac 有两排按钮，先点紫色那排，初始化参数后，才能点蓝色那排，进行 Scan 分析。
（3）初始化参数
点击 BC，即 Box Counting:
不用勾选 Legacy mode，点击 OK：
初始化界面：
这个初始化界面是比较劝退的，如果你需要更加复杂的分析，需要真正知道背后这些参数的原理，鼠标放在每一栏，中间都会有详细的说明，需要耐心阅读。
这里需要注意三个地方：
1、Image Type，选择使用二值化的图像
2、Grid Design，这里可以选择默认的12个
FracLac 可以随机生成不同网格，网格的起点不同，可能对结果也会有影响。
最后得到的结果是这 12 个随机生成网格，得到的 12 个分形维数的平均值。
两种不同生成 grid 的方式
3、Graphic options，这里是可选的，如果只是要得到分形维数的数值，可以一个都不勾选
初始化参数，一般使用默认的就可以，如果要调整参数，一定要了解清楚所调节参数的意义。
（3）分形维数测量
FracLac 可以测量某个 ROI 的分形维数，如果图片上没有 ROI，则测量整张图片的分形维数。
点击 Scan 后，即可得到结果：
END
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