隐形圆的压轴题，在公众号上已经发表过很多了，有兴趣的可以在公众号搜索，查看。
【求解】
由对称性质，AA'⊥PD
所以有定边AD对定角∠AMD=90°，必有隐形圆
如上图，点M的轨迹是以AD为直径，中点O为圆心的圆，轨迹仅在矩形内部的半圆弧AMD
如上图，做点A关于BC的对称点E，连接BE、QE
由对称性，AB=BE，AQ=QE
则待求式AQ+MQ= MQ+QE
直接求上述线段和显然不好求，
如上图，连接OM，则OM=AD/2 = √2
注意到点O、点E都是定点，
根据两点之间线段最短，故折线 OM+MQ+QE有最小值，
如上图，连接QE交圆O于点M'，交BC于点Q'
在Rt△OAE中，
AE=AB+BE=4√3，OA=AD/2=√2
由勾股定理，易求OE=5√2
所以 (OM+MQ+QE)min = OE=5√2
而OM=√2，是定值，
故 (MQ+QE)min = OE - OM =4√2
所以 (AQ+MQ)min = 4√2
