从小学一年级到中学的七年级，从小学各年级奥数题到中学人教版教材中的探究思考，都有一类经常出现的题——幻方。
科普中国网的定义：幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
估计很多跟我年龄相似的朋友第一次接触幻方，应该和我一样，是在阅读金庸先生的《射雕英雄传》时。
话说郭靖黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
这就是一个最简单的3阶平面幻方。因为幻方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与幻方有关，也成为学习计算机编程时的常见问题。
三阶幻方又称九宫图，最早可以追溯到传说时代。相传，伏羲氏取得天下后，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。据传，夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"
河图洛书作为中国历史文化的源头，千百年来对它的解读和演绎浩如繁星，相关著作也是汗牛充栋。
我仅从中小学数学的视角给出自己的解读。
河图，让阳数在天，阴数在地，分别在不同的平面或曲面好像更合理，如下左图
把洛书放到九宫格中，就是三阶幻方，如下右图，是不是和黄蓉的解答一样啊。
十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费马、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。
据说，3阶幻方（上图）还作为人类的特殊语言被美国旅行者飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息。
三阶幻方后来又演变出四阶幻方，五阶幻方，如下图：
上面是科普，下面才是干货。
有个小朋友问我下图的三阶幻方应该怎样填写，我用了很长时间才得到答案，还不确定是否是唯一答案，聪明的，你可以试试。
后来网络上找了的填写三阶幻方的技巧，发现网上的解法都只告诉你怎样操作，但不说为什么这样操作。只好自己做一些逻辑推推，解决“所以然”的问题
先说第一个规律，从怎样把1到9填入九宫格中说起吧，如下图，九宫格可分为四个角格，四个边格，一个中心格，显然中心格在加法运算中被用了四次，角格被用了三次，边格被用了两次，所以右边数列中最平衡位置的5，应该放到中心格。
如上图，根据幻方定义，横、竖、斜条线上的三个数的和都相等，称为幻和。上右图有四组数的和为15，可猜想幻和等于15。九个数的最大值9和最小值1应该被加的次数最少，才能平衡，所以应安排至边格中，且1,5,9三个数应在同一直线上，才能让幻和是15。不妨让1在左边格，9在右边格。如下图。
数字1上面的角格与下面的角格中两个数字的和应该等于15-1=14，剩余数字中，和等于14的仅有8和6，不妨让8在上，6在下。如下左图。
最右侧一列的角格的两个数字和应是15-9=6，和为6的两数只能是剩下的2和4，由斜线上的幻和为15可知，8+5+2=15,6+5+4=15，所以，4在右上角格，2在右下角格。如上右图。
根据第一行幻和为15知，上边格应填的数是15-8-4=3，所以下边格应填7。
根据上述平衡规律，任意给出九个成等差数列的数，都可以迅速的填写到三阶幻方中，如，-3、0、3、6、9、12、15、18、21这九个数，最平衡的9应在中间格，最大的21和最小的-3应在同一条线的边格，得幻和为27.
所第一行左角格和右角格两数的和为27-（-3）=30，和为30的，仅有12和18，若12在左，18在右，由斜线上幻和为27，可得左下角格为0，右下角格为6。
更简单地，用下图的映射法，直接把洛书改写即可
仅靠上述规律，还不能解决小朋友问我的题，因为无法知道九宫格中填写的数是否等差数列，若是等差数列，也不易判断最值是哪个数。所以，还要继续探索规律。
用字母表示数，才能表示出更一般的规律，如下图，设从左上到右下三个格中的数字分别是a，b，c。则幻和为a+b+c，则三行，三列，左上到右下三格中的数的和也是a+b+c。可依次算出①、②、③、④、⑤、⑥所在格中的数。
由上图得到的规律2，可以少设一个未知数，用三个字母就能把九个数都表示出来。如下图，设从左上到右下三个格中的数字分别是b-x，b，b+x。则幻和为3b，则三行，三列，左上到右下三格中的数的和也是3b。可依次写出①、②、③、④、⑤、⑥所在格中的数。再观察，可得下图所示的规律3.
运用上图得到的规律2，规律3，就可以迅速得到小朋友问的题的答案。请看下面的动态展示解答过程。
继续探究下去，由规律3的图示可知，用三个未知数就能够把三阶幻方的九个格子里的数全部表达出来，那么，猜想一下，在九个格子中任选三个格子，填入任意的三个数，是否都能顺利的计算出其余六个格子中的数？且这六个数都唯一。
或者换一种说法，站在出题人的角度，能否任选三个数随意填入三个格子，让学生计算其余格子中的数分别是多少？
情况很多，可先把格子分为边格、角格、中心格三类，然后分情况讨论，三个数可以填入两角一中、两边一中、一边一角一中、两角一边、两边一角、三边、三角，共七种类型。每种类型中还要再分情况。是不是头开始疼了？
请直接看下图
16个图中，红色的三个不能算出其余六个格子要填写的数，验证的方法，如下图，列个三元一次方程组，判定能否解出即可。
同学们可以用上图的方法，自己试试，为什么红色的三个图不能计算出其余六个格子中的数。
再次猜想，能否任选四个数随意填入四个格子，然后计算其余格子五个格子中的数分别是多少？
显然不行，如果第四个方程和前三个方程不是同解方程，芭比Q了。
好了，本次内容写完了，制图写文不易，感谢大家厚爱！
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