利用一元二次方程解决实际应用问题
类型一 传播问题
例1 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x+（x+1）x＝36 B．（x+1）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36
【解答】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x（1+x）＝36，
即：（x+1）2＝36，
故选：B．
变式1．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
（1）现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
（2）在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【解答】解：（1）依题意得：第一轮传染后患病的人数为（1+x）人．
（2）依题意得：1+x﹣2+x（1+x﹣2）＝21，
整理得：x2﹣1﹣21＝0，
解得：x1＝2＝﹣
．
∵x1，x2都不是正整数，
∴第二轮传染后患病的人数为21人的情况不会发生．
类型二 单循环或双循环问题
例2 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21 B．
x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝3×7，
即x（x﹣1）＝3×7．
故选：B．
变式2 （1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会？
（2）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
（3）初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？
（注：3个小题只需设未知数，列出方程即可）
【解答】解：（1）设有x人参加聚会，
根据题意得：＝66；
（2）设共有x个队参赛，
由题意得：x（x﹣1）＝28；
（3）解：设共有学生x人．
则x（x﹣1）＝90．
类型三 数字问题
例3 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选：C．
变式3．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是 ．
【解答】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），
根据题意得：x（x+1）＝12，
整理得：x2+x﹣12＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3，
∴这两个整数中较小的一个是﹣4或3．
故答案为：﹣4或3．
变式4．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为74．
