与名师一起研究‖周晓林：关键信息：“问题解决”的种子
文摘
教育
2024-08-12 09:01
山西
周晓林
浙江省温州市鹿城区教育研究院小学数学教研员，曾获浙江省优秀教研员、浙江省教坛新秀、温州市优秀教师等荣誉称号。已出版专著《两位数加减两位数笔算教学研究》《关键问题：一节课里的种子》《关键问题：让种子在课堂里向阳生长》，教学成果《基于关键问题的小学数学课堂教学行动改进的十年探索》被评为温州市首届小学教学改革十大样本，课程成果《让教师成为有思想的行动者》被评为浙江省首届教师教育精品课程。![]()
本文刊载于《小学教学设计》（数学）2024年第7期
“问题解决”是小学数学教学的重要内容，问题解决能力的培养是体现数学学科特征的重要目标，在真正落实问题解决目标的同时，能有效促进学生推理能力、几何直观、应用意识和创新意识等核心素养的发展。2018年，浙江省组织了小学数学教育质量监测，将学生“问题解决”能力表现作为重点监测内容，基于测试数据得出了这样的结论：“学生在解决问题的过程中，对有效信息的选择能力非常薄弱；学生画图表征数量关系的能力较弱”。那么如何培养和发展学生的信息选择能力，提升学生对数量关系的表征能力，思考和探索问题解决的教与学，有效增强学生发现、提出、分析和解决问题的能力，是值得我们研究的重要课题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调问题解决要“探索真实情境所蕴含的关系”。那么如何探索和发现关系？从哪里入手探索关系？如何描述和表达关系？如何基于关系分析和解决问题？通过实践，我们发现“关键信息”是探索真实情境中蕴含的关系的基点，是问题解决的触发器。关键信息就是问题情境中最重要的信息，它是指在该情境中能够影响问题解决或决策制定的主要因素或条件，包括问题情境中的概念、规则或事件等。如果说关键问题是一节课里的种子，那么关键信息就是问题解决的种子，对于“问题解决”来说，关键信息就是起决定性作用的事情或环节，是解决问题的最主要的因素，是一把打开“问题解决”之门的钥匙。每一个问题解决的情境中都有一个关键信息，这个关键信息就是有效解决问题的突破口。比如人教版三年级上册中出现的“归总问题”：6元一个的碗，妈妈买了6个。用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？在这个问题情境中，“用这些钱”是问题解决的关键信息，是解决这个问题的钥匙。因为“用这些钱”，就要知道“这些钱”是什么？“这些钱”是多少？而且，它蕴含了“关系”，表达了总价和数量的关系，是连接前后信息的节点，所以，可以说它是解决问题的关键信息。对关键信息的理解和把握往往是解决问题的钥匙，它是“问题解决”的种子，只有深刻地理解和表征这一关键信息，用数学的方法分析和解决问题，才能引导学生自主构建问题解决的模型。从现实情境所蕴含的丰富信息中提炼与数学有关的信息，再从这些信息中确定问题解决的关键信息，是发展和提升学生问题解决能力的重要途径。那么如何寻找和确定真实情境中的关键信息呢？我们有以下一些策略。数学概念是理解和把握数学知识的基础，对于数学概念的深刻理解是学生解决问题的重要基础，真实情境中有关数、图形、关系的概念往往就是问题解决的关键信息。因此，我们可以基于对数学概念的本质含义的解读去寻找和确定问题解决的关键信息。例如一道“稍复杂的分数除法问题”：美术兴趣小组，女生有24人，女生人数比男生人数多1/3，男生有多少人？其中“女生人数比男生人数多1/3”表述了女生人数和男生人数的关系，探索和构建两者关系的纽带就是对“1/3”意义的理解。我们需要引导学生理解1/3的含义是什么，只有真正理解了1/3所表示的意义，明白了它所表达的女生人数和男生人数之间的关系，问题才能迎刃而解。因此，问题解决的关键信息是理解1/3的意义，构建“女生人数比男生人数多1/3”所蕴含的关系。只有基于对分数意义的理解，才能真正构建两个数量之间的关系，进而用数学的语言描述和表达关系，最终解决问题。所以，我们可以基于数学概念理解的视角去寻找和确定问题解决的关键信息，通过概念探索问题中蕴含的关系。问题解决的真实情境中，往往会含有很多的规则，对这些规则的理解和把握是问题解决的重要前提。通过梳理问题情境中的相关信息，如果其中蕴含的规则是问题解决的重要素材，那么这些规则就是理解和解决问题的关键信息。我们应引导学生通过分析和理解规则来寻找问题解决的策略。例如人教版五年级上册的“分段计费问题”的解决中就蕴含了规则。计价标准就是问题情境中蕴含的规则，这个规则描述了路程和车费的关系。理解了这个规则，就能把握两者的关系，进而运用关系解决“应付出租车费多少钱”的问题。因此，问题情境中关于计价标准的规则就是问题解决的关键信息。通过发现和梳理问题情境中的规则，明确规则对于问题解决的价值，这是确定关键信息的重要策略。内在逻辑就是问题情境所呈现的数学事件内部的逻辑，也就是事件发展的因果关系。对于内在逻辑的研究和把握，可以帮助我们更好地把握数学事件发展的趋势，明确其中的内在联系，确定事件前后联系的节点，这个节点往往就是问题解决的关键信息。例如前文提到的“归总问题”情境中描述了两个数学事件，分别是“6元一个的碗，妈妈买了6个”和“用这些钱买9元一个的碗”。这两个事件被联系在一起的节点是“用这些钱”，从内在逻辑上来说，“这些钱”就是第一个事件所描述的数学现象背后蕴含的“6元一个的碗，妈妈买了6个”的关系，也是第二个事件中“9元一个的碗，可以买几个”的关系。这些钱既是前一事件中的总价，也是后一事件中的总价。正是基于“这些钱”把两个事件联系在一起，因此对于“这些钱”的理解和把握就是解决问题的关键，是问题解决的关键信息。通过梳理数学事件发生、发展的内在逻辑，明确事件之间的因果关系，有助于我们发现和确定问题解决的关键信息。种子的生根和发芽需要我们精心策划，关键信息作为“问题解决”的种子，更需要把它设计成学习活动，使之成为拨动学生思维的支点。通过数学活动，让学生用数学的思维去思考关键信息，用数学的语言去描述关键信息，只有真正理解了关键信息，才能把关键信息转化为拨动学生思维的支点，成为解决问题的一把钥匙。比如人教版六年级上册“稍复杂的分数乘法问题”：人心脏每分钟跳动的次数因年龄而不同。青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5。婴儿每分钟心跳约多少次？其中关键信息是“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5”，对这一关键信息的理解和把握是解决问题的关键。那么如何把这个关键信息转化为拨动学生思维支点的学习活动呢？我们先得思考：这个关键信息的关键是什么？4/5表示什么？婴儿每分钟心跳的次数和青少年每分钟心跳次数有怎样的关系？对于4/5意义的理解是把握关键信息的基础。我们可以把这一信息设计成如下学习活动：试一试：4/5表示了婴儿和青少年之间怎样的关系？请用你喜欢的方式描述4/5表示的关系。学习活动的重点是描述4/5所表示的婴儿心跳次数和青少年心跳次数的关系，以对两者关系的描述作为拨动学生思维的支点，使学生通过数学的思维，用数学的语言尝试描述和构建关系模型，获得对关键信息的深刻理解和把握，使之成为问题解决的触发器。我们来看看学生是如何把关键信息转化为问题解决的钥匙的。作品一是很常见的学生活动成果，看上去似乎把该表达的都表达了，但是它没有很好地描述4/5的意义，没有凸显4/5所蕴含的婴儿心跳次数和青少年心跳次数之间的关系。作品二很好地描述了4/5的意义，凸显了4/5是表示婴儿心跳比青少年多的次数和青少年心跳次数之间的关系，清晰地描述了婴儿的心跳次数是由两部分组成的：和青少年一样多的部分；比青少年多的部分。其中多的部分是青少年的4/5。从作品三中可以很清楚地看到，婴儿心跳的次数就是青少年心跳次数和比青少年多的4/5所表示的次数的和，两者的关系还可以描述成：婴儿心跳的次数是青少年心跳次数的（1＋4/5）。当学生用自己的方式对关键信息进行个性化的表征和解读，通过探索、操作和交流，基于关键信息构建了婴儿心跳次数和青少年心跳次数之间的关系，也就是找到了问题解决的钥匙。从关键信息到问题解决，是一个发现问题、提出问题、分析问题再到解决问题的过程。这个过程包含了呈现现实情境，从现实情境蕴含的丰富信息中提炼与数学相关的信息，确定其中的关键信息，用数学的方法分析和表征关键信息，基于关键信息所蕴含的数量关系解决问题等。通过实践，我们构建了分析和解决问题的路径。从现实情境到发现数学问题，再到寻找和确定关键信息，是“发现问题”能力的体现。比如前文提到的“分段计费问题”，《教师教学用书》中说，解决分段计费问题的关键是理解题意。那么理解题意的关键是什么呢？就是理解其中的关键信息。从问题情境中，我们可以发现计价标准是计算应付车费的规则，它是计算车费的依据，描述和表达了行驶路程和车费的关系。因此，计价标准是问题解决的关键信息，是需要理解和明确的信息，只有搞清楚了关键信息，才能进一步去解决问题。师：你们觉得解决这个车费问题的关键是什么？这里的计价标准到底表示了谁和谁的关系？分析问题，就是要深入了解关键信息的本质、背景和影响因素等，从而确定关键信息的核心和蕴含的关系，找出问题解决的根本原因和主要因素。计价标准作为解决“分段计费问题”的关键信息，我们需要引导学生深入分析，通过画图、文字、符号等方式进行表征，明确行驶路程和应收车费的关系，构建数学模型，为问题解决提供支撑。对于计价标准的理解，以及把标准呈现的关系以一种清晰明白的方式表达出来，是解决“分段计费问题”的基础。我们可以把这个关键信息转化成如下学习活动。师：你能将计价标准中路程与车费的关系清晰、明白地表示出来吗？可以画图、列表，或者任何你喜欢的方法，想办法让人一目了然。师：完成好了可以与你的同桌轻声说一说，你是怎么表示它们的关系的？师：（出示下图）他有把路程和车费的关系表示出来吗？（将路程进行分段，但是没有表示出路程与车费之间的关系。）师：（出示下图）那他有把路程和车费的关系表示出来吗？（是对其中部分信息的强调和解读，难以让人一目了然，更难以让人一拿来就能用以计算车费。）师：（出示下图）这是谁的作品？请说一说你是怎么表示路程与车费的关系？（相当于把文字表示成了图片，对于关系的描述还不够清晰和到位。）师：（出示下图）那这幅呢？谁能谈一谈自己的看法？（利用表格的形式整理路程与车费的关系，一一对应，很清楚。）师：老师收集到了这样一幅作品（出示下图），是谁画的？请上来说一说你是怎么表示路程与车费的关系的？（既表达了路程与车费的关系，又能将这种关系清楚、明白地表示出来。）当学生把关键信息表示成了用来度量的尺子的形式时，路程和车费的关系就被生动活泼地呈现出来，信息的各个要素一目了然。这就是计价标准的可视化，加上必要的说明，就成了一把尺子，用以度量路程和对应的车费。通过学习活动，学生对关键信息进行个性化的表达和描述，明确了问题解决的基础和关键，为解决问题做好了铺垫。通过对关键信息的解读和表征，构建了行驶路程和车费的关系，问题解决就可以顺理成章。因为学生通过学习活动所呈现的基于关键信息的路程和车费的关系就是学生解决问题的钥匙。师：看到这幅图（如上图），你能马上列式解决今天遇到的车费问题吗？请将算式写在《学习单》的空白位置。（学生自主列式计算或板演）有时间的同学可以尝试用多种方法解决这个问题。小结：3千米以内的价格叫起步价（板书起步价），超出3千米的部分叫作加价部分（板书加价部分），总价（板书总价）就等于起步价加加价部分，这就是今天要学习的分段计费问题。对于关系的描述和直观表达是问题解决的基础和关键，学生呈现的种种用以解决问题的算式都是基于路程和车费的关系而进行的数学表达。有了关系模型，就有了问题解决的依据。通过对问题情境中关键信息的解读和表征，构建了行驶路程和车费的关系，再利用两者的关系构建了问题解决的数学语言。那么再面对其他类似的问题情境时，学生会如何解决问题呢？我们应通过拓展问题情境，强化学生对关键信息的表征和应用，提升基于关键信息的问题解决能力。师：回顾刚才计算车费的过程，我们是怎么解决这个问题的？（通过读题找到关键信息，并运用多种方式理解、表示其中的关系，在这个基础上根据它们之间的关系列式解决问题。）师：（出示下图）来看这两道题，请你仔细读一读，有什么发现？（也是分段计费）你能用刚才的研究方法解决这些问题吗？请你任意选一道题，先思考、表示它们的关系，再根据它们的关系解决问题。师：你们找到的关系是怎样的？根据这样的关系你又是怎样计算的呢？谁愿意上来分享？师：回顾这三个问题，想一想它们在解决问题的过程中有什么相同的地方？ 师：想一想你在哪儿还见过像这样的问题？像这样的问题还有很多，只要掌握了关键信息这把钥匙，所有问题就可以迎刃而解。拓展和迁移问题情境有助于促进学生的思维生长，形成对这一类问题的结构化理解，强化基于关键信息的思考路径，构建“分段计费问题”解决的应用模型。总之，在教学实践中把关键信息作为问题解决的种子，通过确定关键信息、把关键信息转化为拨动学生思维的支点，引导学生在数学活动中探索关键信息，确定信息中蕴含的数量关系，构建数学模型，有助于学生更好地基于关系模型分析问题和解决问题，增强对有效信息的选择能力和画图表征数量关系的能力，进一步发展“四能”，提升学科核心素养。【本文系2024年浙江省教研课题“小学数学建构合理问题课堂教学模式的区域实践样本”（申报编号：03222）的研究成果。】
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