与名师一起研究‖周晓林：关键信息：探索情境中所蕴含数量关系的支点
文摘
教育
2024-08-12 09:01
山西
本文刊载于《小学教学设计》（数学）2024年第7期
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）强调解决问题要“探索真实情境所蕴含的关系”。什么是关系？关系就是事物之间相互作用、相互影响的状态。小学数学问题解决创设的真实情境中有各种各样的数学信息，这些数学信息之间相互作用、相互影响的状态就是2022年版课标中所强调的“数量关系”。通过探索情境中蕴含的数量关系，可以有效把握问题的结构，引导学生更好地感悟数学模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。2022年版课标强调“通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系，提出有意义的数学问题。”如果说真实情境中蕴含着关系，那么数学的真实情境中蕴含的就是数量关系。数量关系与数感、符号意识、模型意识、应用意识等学科核心素养密切相关，2022年版课标中关于数量关系的描述都指向学生核心素养的培养。数量关系是隐含在真实情境各种信息背后的数学现象，对数量关系的理解就是对问题的理解，它是培养学生核心素养的主要载体。人教版五年级下册第四单元编排了“用公因数解决问题”，创设了如下的真实情境：小亮家储藏室的长方形地面长16dm，宽12dm。如果用边长是整分米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？在这个问题情境中，有长方形长与宽的数学信息，有正方形的数学信息，有正方形边长是整分米数的数学信息，有铺满的数学信息，有地砖必须都是整块的数学信息。这些数学信息之间是相互作用、相互影响的，蕴含了长方形的长和宽的关系；蕴含了正方形边长的数学关系；蕴含了长方形的长和宽与正方形的边长的关系；蕴含了每行正方形的总长度恰好是长方形的长，每列正方形的总长度恰好是长方形的宽的关系；也蕴含了边长是整分米数的正方形地砖能否铺满长方形的关系。对这些数学信息的理解和把握，就是探索数量关系的过程，就是发现和提出问题的过程。情境中提出要用整数块完整的正方形地砖去铺满地面，对整块的、整分米数、铺满等数学信息进行理解，就会发现这些信息指向的是“边长是几的正方形能铺满这个长方形”的数学问题，其内在的数量关系是“边长是几的正方形既能铺满16dm，也能铺满12dm”，也就是16dm是这个边长的倍数，12dm也是这个边长的倍数。这个关系用数学的语言来描述，就是16和边长的倍数关系，还有12和边长的倍数关系，就是乘法模型的关系结构。2022年版课标指出“数量关系主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律”，所以要用16÷□和12÷□（□表示同一个数）来描述正方形边长的规律，把□和16与12的公因数联系起来。所以要用求16和12的公因数的方法来寻找能铺满长方形地面的正方形的边长，这就是问题中蕴含的数量关系。从数量关系的视角来看情境，就能清楚地发现数学问题的结构，也就是教材呈现的“边长是几的正方形能铺满长方形”的数学故事。探索情境中蕴含的数量关系，就是探索认知结构、数学模型和运算意义。有了数量关系，就有了解决问题的思维支架，学生才能深入分析问题的基本结构和关键要素，进而解决问题。通过数量关系来把握问题的结构，凸显学生用数学的眼光观察现实世界的真实情境的过程，才能培养学生发现和提出问题的能力。那么，如何引导学生探索情境中蕴含的关系，通过关系来把握问题的结构呢？在实践中，我们发现问题情境中的关键信息是探索情境中所蕴含数量关系的支点，通过关键信息可以有效引导学生探索关系，把握问题结构。所谓关键信息是指问题情境中最重要的信息，即在该情境中能影响关系构建或问题解决的主要因素或条件，包括问题情境中的概念、规则或事件等。关键信息指向数量关系，对关键信息的理解和把握就是在强化对问题情境中的数量关系的理解。每一个解决问题的情境中都有一个关键信息，它是探索数量关系的支点。如教学人教版六年级上册的“工程问题”时，一位教师出示了如下真实情境：一条道路，如果甲队单独修，10天能修完；如果乙队单独修，15天能修完。如果两队合修，多少天能修完？在该情境中，能影响关系构建或问题解决的关键信息是“合修”，它是探索情境中所蕴含的数量关系的支点。理解“合修”，就要知道什么是合修？两队要合修什么？合修的工作总量是多少？合修的工作效率是多少？它蕴含了甲、乙两队合作完成的工作总量和工作效率的“关系”，表达了工作总量、工作效率和工作时间的关系，是探索数量关系的支点。所以，我们可以说它是解决问题的关键信息。问题情境中描述了两个数学事件：“甲、乙单独修”和“甲乙合修”。从“合修”的内在逻辑上来说，“10天能修完”，1/10是甲队的工作效率，“15天能修完”，1/15是乙队的工作效率，正是基于“合修”才把甲和乙的工作效率联系在一起，建构了两者的数量关系：合修的工作效率×合修的工作时间＝合修的工作总量。因此对于“合修”的理解和把握是解决问题的关键，只有理解了“合修”所蕴含的数量关系，才能用乘法模型表达数量之间的关系或规律进行推理和运算。关键信息是探索数量关系的支点，只有深刻地理解和表征关键信息，用数学的方法分析关键信息，才能引导学生自主建构基于数量关系的解决问题模型。从现实情境所蕴含的丰富信息中提炼与数学有关的信息，确定哪个是解决问题的关键信息，是发展和提升学生分析问题和解决问题能力的重要途径。 解决问题的过程就是通过分析数量关系把握问题的基本结构和关键要素，以算式为工具，以数学思维为核心，经历数学推理的过程。关键信息作为探索数量关系的支点，顺利撬动问题的有效解决需要我们把它设计成学习活动，使之能够拨动学生的思维，引导学生通过数学活动去表征关键信息。学生要用数学的眼光去观察关键信息，用数学的思维去思考关键信息，用数学的语言去描述关键信息，基于关键信息的表征去探索和理解问题情境中蕴含的数量关系，进而利用数量关系解决问题。“数量关系是一种图式，是指人脑中的一种认知结构，反映了某种事物或现象的基本特征和关系。”关键信息的表征要指向对认知结构的理解，要能反映出真实情境中这些事物或现象的基本特征和关系。比如人教版三年级上册第六单元编排的“用估算解决问题”，其目的是让学生理解估算的价值，掌握用估算解决问题的基本策略，并能根据具体情境灵活应用。创设的真实情境为：植物园门票每人8元。三（1）班有29人去参观，带250元买门票够吗？从问题情境中，我们可以发现“带250元买门票够吗？”蕴含了带的钱和买门票所花的钱的关系，它是解决问题的关键信息，是需要理解和明确的信息。那么“够吗？”表达的是一种怎样的关系呢？我们可以把这个关键信息转化成如下的学习活动：“带250元够吗？”表示了谁和谁的关系？请把这种关系清晰地表示出来，让人一目了然。通过学习活动，引导学生深入分析，通过画图、文字、符号等方式进行表征，明确所带的钱和应花的钱的关系，构建认知结构，呈现了如下学习作品，为解决问题提供了支撑。当学生把关键信息表示成要买门票的钱、232元、29×8元和250元进行比较时，事物的基本特征和关系就被生动活泼地呈现出来，把“够吗？”的数学信息转化成了两个量的大小比较。通过学习活动对关键信息进行个性化的表达和描述，指向认知结构，明确事物或现象的基本特征和关系，为解决问题做好了铺垫。数学模型是将真实情境中的事物或现象用数学的语言去表达，从数量关系的角度对现实情境进行描述和刻画，关键信息的表征要强化对数学模型的理解和建构。对数学模型的理解和建构，可以去除无关信息，凸显解决问题的本质。如人教版五年级上册编排的“相遇问题”：小云家和小林家相距4.5km，周日早上9:00两人分别从家骑自行车相向而行。小云每分钟骑200m，小林每分钟骑250m，两人何时相遇？因为是相向而行，所以就会有“何时相遇”的数学问题。从解决问题的角度来说，“相遇”是其中的关键信息，重点是理解“相遇”的意义。那么“相遇”是什么意思？如何从数学的角度去理解呢？我们应通过设计学习活动——你能画图把两人骑车相遇的数学故事表示出来吗？请画一画、写一写，让人一眼就看清楚相遇的意思，强化学生对数学模型的理解和建构。学生通过对“相遇”的数学表征，实际上是在构建相遇就是小云和小林一起行完了4.5km，只有一起行完了全程的数学行动，才会有两人“相遇”的数学结果。如下两幅作品虽然表达得不够准确，但是都以符号描述了对“相遇”的理解，或者是2个带线段的箭头“在某一个点相遇”，或者是以大括号表示的小云行的路程和小林行的路程。下面这两幅作品实际上都是在表达相遇的意义就是两人一起行完了4.5km，表示出他们是如何行完全程的，表示出他们行的路程和全程之间有怎样的数学关系，把他们怎么行完全程的过程清晰明白地表示出来，构建了“相遇问题”的数学模型：小云骑的路程＋小林骑的路程＝4.5km。有了数学模型，就有了利用数学算式或方程对数量关系的清晰描述，就可以运用数学模型分析和解决问题，它就成了学生解决问题的依据。由关键信息的本质含义出发，从“相遇”的视角把握类似实际问题的内在一致性，就可以从一道题到一类题，有效建构问题解决的模型。“运算的意义是抽象概括数量关系的依据。在小学阶段，无论数量关系以何种形式出现，都离不开加、减、乘、除四则运算的意义。”从关键信息到解决问题，是一个凸显运算意义的过程，对运算意义的理解是解决问题的基础。数量关系源于解决问题，根植于四则运算，所以关键信息的表征要凸显运算意义，强化对运算意义的解读和表征，通过运算意义建构数量关系，再利用数量关系进行运算和推理。比如“求一个数的几倍是多少”的数学问题：跳棋的价钱是8元，象棋的价钱是跳棋的4倍。象棋的价钱是多少元？这里的关键信息是“象棋的价钱是跳棋的4倍”，它是凸显运算意义的支点。我们设计了如下学习活动，引导学生对关键信息进行表征，强化对运算意义的理解：你能用画一画、写一写等方式清楚表示出要求象棋的价钱其实是求什么吗？要求象棋的价钱就是在求8的4倍是多少，就是求4个8是多少，如下作品很好地描述了倍的意义，表征了乘法结构，凸显了乘法运算的意义。可以发现，求象棋的价钱就是求4个8是多少，要用乘法算式4×8来计算，倍数问题就是乘法结构的问题，就是用几个几的视角观察现实世界的问题。同样的，面对“求一个数是另一个数的几倍”的数学问题“教室里扫地的有4人，擦桌椅的有12人。擦桌椅的人数是扫地的几倍？”也可以引导学生对关键信息进行表征，凸显数量关系的运算意义——求擦桌椅的人数是扫地的几倍，就是求12里面有几个4，要用除法计算。拓展和迁移问题情境，通过对关键信息的理解，凸显对运算意义的表征，有助于促进学生的思维生长，形成对相关问题运算意义的结构化理解，强化基于关键信息的思考路径，构建解决问题的应用模型。总之，在教学实践中把关键信息作为探索真实情境中所蕴含数量关系的支点，通过寻找和确定关键信息，设计学习活动引导学生对关键信息指向的数量关系的认知结构、数学模型和运算意义进行表征，可以有效拨动学生的思维，引导学生通过数学活动确定数量关系，进而基于数量关系分析问题和解决问题，进一步发展“四能”，提升学科核心素养。【本文系2024年浙江省教研课题“小学数学建构合理问题课堂教学模式的区域实践样本”（申报编号：03222）的研究成果。】![]()
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