离奇的无限等式：泽塔函数
百科
科学
2024-07-05 18:32
北京
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看下面这张图，“1＋2＋3＋…”，每次增加1的数字无穷相加，其和应该会无穷大。但我们看黑板上的②式，根本没有无限增大，反而得出了负值。按常识考虑，右侧的值好像是错的。但从数学上来讲，这都是“正确”的算式。
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为何可以说这些等式是正确的呢？揭开谜底的关键就是等式左边的泽塔（ζ）这个符号。这个式子叫做“泽塔函数”(ζ函数，zeta
function），是处理复数的“复函数”。所谓复数，是指实数与虚数（平方为负数的数）组合而成的数。①～④是泽塔函数的变数“s”值分别为0～-3时的计算结果。当s的实数部分≤1时，按照正常方式计算，泽塔函数的值会无穷大。但在这里，我们求其“近似”值，就避免了泽塔函数变无穷大。在数学的世界里，有时可以把复杂的数式看作近似于某个值时的简单数式。例如y＝x2，当位于x＝1附近时，就与y＝2x－1这条直线（斜率为2的直线）是近似的。但是，近似表达式说到底也只能在基准值（此处为x＝1）附近时使用。在计算泽塔函数s的实数部分≤1时，首先，在s的实数部分略大于1的值附近，表示出泽塔函数的近似表达式（无限次近似表达式）。这样，就可以得出在实数部分略大于1的s附近所成立的近似表达式。使用这个近似表达式，就可以进行泽塔函数的计算，直到得出s的实数部分略小于1时的值。像这样，扩大复函数可能计算范围的方法，叫做“解析开拓”。一次解析开拓所能扩大的可计算范围会有些许差异。但使用新得的数式重复进行解析开拓，就可以进一步扩大可计算范围。开头黑板上的①～④泽塔函数的计算结果是通过重复解析开拓而计算得出，是泽塔函数的正确值。 进行解析开拓后的式子会发生很大的变化。如果为了不引起误解，对开头黑板上的等式进行重写，那就在中间的算式和右边的值之间，加入通过解析开拓获得的变形后的算式就可以。当泽塔函数的s值为2时，与欧拉解决的巴塞尔问题级数是一致的。在欧拉的研究之后，人们开始了解泽塔函数的形式。而且，意识到该式重要性的数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）将其命名为“泽塔函数”，一直传承到现在。黎曼是提出现代数学未解决的问题——“黎曼猜想”的数学家。黎曼猜想是指，“使泽塔函数值为零的除去负偶数以外的s值，是实数部分为12的复数”，简直就是关于泽塔函数的一个猜想。该猜想被美国克雷数学研究所给予100万美金的悬赏金，成为了“千禧年大奖难题”之一。黎曼猜想是为“素数公式”设立的猜想，通过素数公式可以精确地估算出某个值以内的“素数的个数”。素数是指只能被1和自身整除的数。截至2017年12月底，已经发现的最大素数有23249425位数，但并非该素数之前的所有素数都已被发现。例如，11以内的素数有4个，即2、3、5、7。素数值很小时，其以内的素数可以一个一个数出来，但如果达到100位、1000位或更大时，要列举其之前所有素数就非常难。但如果全部知道了泽塔函数为0的值，就可以计算出某个数之前存在的素数的个数。确认黎曼猜想的真假，是在素数海洋中探索前进的重要指南。泽塔函数还被用于粒子物理学最前沿研究的
“超弦理论”等领域。空间的维数、真空能量等，通过泽塔函数可以接近这些宇宙之谜。在这篇文章中，我们的目的是让各位读者“鉴赏”泽塔函数这样的无限等式，所以没有对其进行详细的证明。但等式的推导过程也点缀着数学之美。如果大家有兴趣，可以尝试探索一下这些等式背后更深远的世界。新媒体编辑 | 张丽君
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