小乐数学科普：数学能拯救你的灵魂吗？——James Propp教授专栏

“没有人知道数学会如此复杂。”

 ——从来没有人

某个公众人物在其职业生涯中说过的最真实的——对我来说也是最令人愤怒的——一句话是“事情就是这样。”

鉴于他指的是超过十万人的死亡——就在几个月前，他还满怀信心地宣称这些死亡不会发生，从而导致了不合理的乐观和不谨慎的冒险——我很生气。我觉得现在需要道歉，而不是同义反复。

然而，谁能反驳事情就是这样的命题呢？这种洞察力——特别是我们对存在不同真相的希望并不会改变真相本身的洞察力——难道不是所有科学的基石吗？

但是，相信一个真理存在本身并不能保证你不会陷入错误的头脑中，而相信重要问题的错误答案，以及只听同意你观点的人的意见。如果你想远离这样一个认知监狱，你还应该相信真理是很难获得的，没有一个人或一群人可能会得到大部分真理，并且在任何给定的时刻，你都可能掌握比你想象的要少的真理。

我是一个不可知论者，但我强烈同情我读到的一些福音派的一个关键原则：洞察力，一个需要倾听、推理、观察、反思和考虑新观点的过程，与我们通常将其归类为美德的特征一样重要。事实上，洞察力可能是所有美德实践中最重要的，因为如果我们不能正确辨别真相，我们最高尚的冲动就会被用于可怕的用途。（伏尔泰写道：“能让你相信荒唐事的人，也能让你犯下不公正的事。”）想一想，当保护儿童的愿望导致人们错误地指责他人进行撒旦仪式虐待和类似的恐怖行为时，它会被怪诞地扭曲。当轻信导致有害行为时，它就不再是个人的失败。我们有责任尽可能清楚地看待世界。

我不相信清算日，但我相信，如果有清算日，如果我们一生中因为对世界的错误信念而不公正地给他人带来了伤害，那么清算者不会被借口“我做这些事情是因为我信任的人误导了我”所动摇。清算者会回答“你为什么选择信任这些人？”

同样，我不相信有魔鬼，但如果有的话，魔鬼最大的乐趣肯定在于狡猾地扭曲崇高的冲动——比如对弱者的同情和面对不公正的愤怒——以达到邪恶的目的，只需扭曲人们对现实的美好但不敏锐的看法。

这让我们回到了那个不加辨别的公众人物，他说“事情就是这样”。几年前，他宣布“没有人知道x会如此复杂”（不要介意本文中的x是什么），尽管许多聪明人，包括他的前任主管，经常这样说大声说x很复杂。事实是，大多数事情都很复杂。数学可以帮助我们了解这一点，同时，正确的数学教学可以帮助我们学习如何应对这种复杂性——不是通过为我们提供微积分等工具（它们在解决技术问题时很有帮助），而是通过让我们在相互尊重和富有成效的辩论中进行练习，或者我们可以说，在洞察力中进行练习。

与数学教学的另一面（更臭名昭著的一面——僵化和教学独裁主义的一面）相比，你可能不太熟悉数学教学的这一面，所以让我解释一下。

我最喜欢教授的两门课程是荣誉微积分（honors calculus）和概率论（probability theory）。学生在荣誉微积分课程中遇到的许多想法都是不直观的，而他们在概率论课程中遇到的一些想法可能看起来完全荒谬。我说的是蒙提霍尔三门问题（Monty Hall problem），但还有很多其他概率论结果，我们大多数人在第一次遇到它们时很可能会出错。通常，学生会分裂成对某个问题持有两种不同观点的派系，而此时才是真正的学习发生的时刻。

我让双方各抒己见，让他们互相倾听。“别盯着我希望了解我的想法，”我说（当我发现他们看我是为了“获知”我同意哪一边时）；“看看你的同学，那些你想说服的人。”作为主持人，我的作用是让双方解释他们的信念，澄清他们的假设，并提出令人信服的论据。有时，班级会重新投票。我专注于听取那些改变立场的人的意见。我问他们是什么影响了他们。有时，转向正确观点的人会被无效论点所左右。在这种情况下，我会提倡错误的观点，迫使正确观点的持有者提出更好的论据。但总的来说，我会尽可能少地参与争论。

几乎总是一方完全战胜另一方。最初的15-15或20-10的分歧变成了30-0的共识。相互竞争的现实之间的裂痕逐渐愈合，我们继续前进。

这里学到的内容超出了所讨论的数学命题；这再次证明，在适当的情况下，开始持不同意见的人们可以达成一致。他们可以克服自己先前的信念，并通过诚实地共同思考来辨别真相。

当然数学是特殊的。数学辩论可以而且通常确实会集中在一个正确的答案上，因为虽然观点不同，但数学真理通常是单一的和可被发现的。数学辩论在另一个方面也很特别：当赌注如此之低时，人们很容易保持尊重和冷静。谁真正在情感上关心（例如）处处可微的函数的导数不一定是连续的？²如果你想和我争论这件事，我不会失去冷静，你也不会。另一方面，如果你和我正在辩论我们非常关心的现实世界主题，我们不会将我们的数学论证带入辩论。当我们的心脏加速、血压升高时，我们的杏仁核和肾上腺会告诉我们我们受到了攻击。我们可能真诚地相信我们正在充分倾听对方，但即使对方说话，我们兴奋的大脑也可能会计划反驳，而不是更深入地挖掘我们所听到的内容。

因此，学习对数学进行敏锐的争论可能会或可能不会让你准备好对全球变暖或疫苗接种指令等问题进行敏锐的争论。然而，如果正确理解的话，数学真理的混乱性还可以给我们提供另一教训。

让我们回到一个令人惊讶的事实（如果你愿意，你可以将其视为黑匣子）：处处可微的函数的导数未必总是连续的。据我所知，这与现实世界中的任何事实都不相符。这是一个纯粹的数学问题。但它坚如磐石。如果你以标准方式解释“连续”和“导数”这两个词，那么你可能会认为处处可微的函数的导数一定是连续的，你甚至可能认为这是显而易见的，但你错了。大多数学习微积分的人不加批判地得出与你相同的信念，这一事实并不会让你的错误信念变得更加真实。

但谁提出了“连续”和“导数”的定义呢？人们做到了！所以你可能会认为我们人类不会对我们的定义中隐藏的事实和非事实感到惊讶。我的意思是，我们选择了他们，那么我们怎么会对他们得出的结论感到惊讶呢？我们说出了这些定义，从而创造了一个迷你世界。那么这个世界怎么能让我们——它的创造者感到惊讶呢？

这就是人们从数学研究和教学中学到的谦逊可以延续到现实生活中的地方，甚至可能以放大的形式延续下去。因为（这就是我的最终观点：）如果我们的本能如此误导我们关于我们自己思想的创造，那么对于一个不是我们创造的世界，我们又会被我们的本能误导多少呢？

这并不是说数学家对各种形式的愚蠢和邪恶免疫。杰出的数学家奥斯瓦尔德·泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913 - 1943）也是一名狂热的纳粹分子（参见我的拙文《犹太数学？》——小乐数学科普：“犹太数学”？——James Propp教授专栏 ）。R. L. Moore（罗伯特·李·摩尔，1882 - 1974） 在高等数学教学中的“摩尔方法”非常有影响力，他拒绝让女性和有色人种参加他的课程。我可以列出许多其他灵魂没有被数学拯救的人的例子。但我认为，至少就我自己而言，学习数学，然后学习更多数学，甚至现在继续学习数学，让我变得更加谦虚，而非反之。我的职业为我提供了充足的机会说“我不知道”、“我很困惑”和（最重要的是）“我错了”。经常犯错，即使是在与我的专业领域相关的问题上，也意味着即使我对自己很有信心，脑海中的一个小声音也会提醒我所有的错误。（另请参阅我的拙文“如何犯错”。）

虽然我提倡认识到我们的世界是多么复杂以及它是多么违反直觉，但重要的是不要因为意识到我们作为个人和物种的认知缺陷而陷入瘫痪。是的，大多数知识都是临时的，但我们并不总是有推迟决策的奢望。谦虚不应该阻碍行动；它应该鼓励我们以我们所能聚集的最佳洞察力来谨慎行事。

阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein，1879 - 1955）曾经说过：“想象力比知识更重要。”这是一个深刻的真理，其反面也是一个深刻的真理，不幸的是，随着对来之不易的专业知识的不尊重变得越来越猖獗，后一个真理与我们生活的世界越来越相关。一些高明的骗子拥有美妙的想象力，但我们必须生活在现实世界中，而不是他们想象的世界中。人们倾向于贬低事实，认为它们是干燥和无活性的，但就像水泥（也是干燥和无活性的）一样，共享的事实将事物结合在一起。如果人们相信不同的事实并不再尊重人类辨别真假的长期计划，我担心社会凝聚力。

事情就是这样，而最重要的是：复杂。每个希望主宰我们世界的人都应该尊重这种复杂性。可惜，事实并非如此。仅仅希望不会实现这一点。

感谢桑迪·古宾（Sandi Gubin）、大卫·雅各比（David Jacobi）和埃利安娜·普罗普-古宾（Eliana Propp-Gubin）。

#1 虽然本文关注的是某个特定的公众人物，但忽视复杂性的倾向并不是任何个人或政治派别所独有的。它反映了公民演讲中的一个普遍问题。

#2 当学生第一次学习微积分时，他们遇到的所有处处可微函数的例子都具有处处连续的导数，因此他们很自然地得出了他们都这样做的信念（我敢称之为刻板印象吗？）。但如果他们参加更高级的微积分课程，他们就会发现事实并非如此。

处处可微但导数不是处处连续的函数的标准示例是由f(x) = x² sin (1/x)定义的函数，其中x≠0，f(0)=0。f大致是这样的：

下面是它的导数f'的大致样子：

函数f'在x=0处不连续，但在其他地方都是连续的。

第二张图片未传达f'的一个重要性质是，尽管f'(x)在x=0附近的值在+1和-1之间波动得越来越快，但f'(x)在x=0处等于0。这对应于以下事实：在第一张图片中，如果在点(0, f(0))和点(x, f(x))之间画一条直线，则随着x就越接近于0,该直线的斜率保证也越来越接近于0，因为f(x)始终保持在x²和-x²之间——这两个函数在x=0处都有导数0。

如果你在第二次或第三次真正深入研究的话，就会发现微积分比你第一次想象的还要复杂。大多数事情都是这样。

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