小乐数学科普：素数如何揭示数学的隐藏结构——《量子杂志》每周数学随笔

文摘 2024-08-22 18:00 江苏

《量子杂志Quanta Magazine》每周都会介绍推动现代研究的最重要思想之一。

本周，高级主编Konstantin Kakaes讨论了素数是什么以及素数为何在数学中发挥着如此重要的作用。

作者：Konstantin Kakaes 量子杂志高级主编 2024-8-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-8-22

1、2、3、4、5 — 数学从计数开始。接下来是加法，然后是乘法。乍一看，它们似乎非常相似。毕竟，乘法只是重复的加法（累加）：7 × 5 是 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 的更简洁写法。

但如果你深入研究数字内部，看看它们是由什么组成的，这种最初的相似性就不复存在了。试着用加法将任何整数划分成几个小的部分之和，你会有很多可能的方式。例如，11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2。（有 56 种方法可以分割 11）。随着数字变大，分割的数量也稳步增加（https://oeis.org/A000041 ）。但如果你试着用乘法来分割数字，就会出现一个非常不同的画面。有好几种方法可以分割 30 — — 有 3 × 10、5 × 6 和 2 × 15。但 31 根本不能分割。它是素数（质数）。它的因数只有它自己和 1。

加法和乘法之间的区别是通往抽象数学大荒野的最平缓的山路之一。素数的定义涉及乘法。但素数也形成具有神秘质感的加法模式。

许多这样的模式都激发了数学界最大的一些未解问题。例如，数学家猜疑存在无数个孪生素数——相差 2（加法）的素数（乘法），如 29和31 或 41和43。但没有人能够确切地证明这一点。同样，数学家认为每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，这个问题被称为哥德巴赫猜想。这一点也尚未得到证实。

但许多其他事实也已得到充分证实。素数有无数个。尽管这是数学中最古老的成果之一，数学家们仍在不断提出新的证明（参阅20230426文章）。众所周知，素数在数轴上越来越稀少。1896年，雅克·阿达玛 (Jacques Hadamard，1865 - 1963) 和夏尔-让·德·拉瓦莱·普桑 (Charles-Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962) 独立证明了所谓的素数定理（PNT），该定理对素数的稀有程度进行了非常好的估计。这个定理是解析数论的基础成果之一，解析数论是数学的一个分支，将整数研究与光滑变化的函数联系起来。

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乍一看，整数和函数之间似乎没什么关系。但它们之间的联系却十分深刻。其中最吸引人的一条线索是黎曼猜想，它可以说是现代数学中最重要的（也是最难解决的）未解问题。

从表面上看，这个假设与素数无关——它与不直接涉及素数的无穷和的行为有关。但如果它是正确的，数学家们就有办法解释素数定理预测的偏差。素数似乎随意地散布在整数中，但黎曼假设提供了一种解释它们为什么会出现的灵巧方法。

今年五月，詹姆斯·梅纳德（James Maynard，1987 -，参阅20220705 小乐数学科普：2022年菲尔兹奖获得者简介）和拉里·古斯（Larry Guth，1977 -，参阅20240715文章）证明了该假设可能存在例外的新界限。（物理学家也有解决该问题的想法）。去年，梅纳德的三名学生证明了一个关于素数如何分布到不同类型的数学桶中的新结果（参阅 20231026 小乐数学科普：新一代数学家突破素数障碍——译自量子杂志）。其他研究则研究了素数如何在更短的区间内分布。

人们早就知道素数会聚集成团——有时它们之间会留有很大的空隙，有时则留很小的空隙。2013年，当时还默默无闻的数学家张益唐（1955 -）证明了间隔小于7000万的素数有无穷多个。这是证明孪生素数有无穷多个的第一步：7000万虽然很大，但却是有限的数。

几个月后，有梅纳德在其中的合作成果，证明可以做得更好：他们将差距从7000万缩小到600。

数学家们同样感兴趣的是素数之间的距离可以有多远。（即使一些素数之间的距离很近，但别的相邻素数之间的距离却很远。参阅20220721文章）对于大数，平均间隔趋向于无穷大，但数学家们试图描述间隔增长的速度。

除了分布方式之外，素数还具有许多模式。除了2，所有素数都是奇数。这意味着有些素数（如 5）除以 4 后余数为 1，而其他素数（如 11）余数为 3。事实证明，这两种不同的素数具有根本不同的行为，这一事实称为二次互反律（quadratic reciprocity，参阅20231101 小乐数学科普：改变数论的隐藏联系——译自量子杂志），由卡尔·高斯（Carl Gauss，1777 - 1855）在19世纪首次证明。互反律是当今数学家的基本工具。例如，它在去年夏天关于如何将圆堆积在一起的证明中发挥了关键作用（参阅20230810 小乐数学科普：猝不及防，一个被广泛相信的数论猜想被两名学生推翻——量子杂志）。

素数或不可整除的概念不仅限于数字。称为多项式的表达式，如x ⁵ + 3 x ² + 1，也可以是素多项式（不可约多项式）。2018年，两位数学家证明，在某个特定类别中，几乎所有多项式都是素多项式。

乍一看，素数的特殊性并不明显。当你数数时，你可能会觉得很奇怪，比如说，7 和 11 是不可被（1和自身之外的数）整除的，而不像某些其他数字那样。但简单的计数行为会创造出微妙而复杂的结构，让任何人都能瞥见数学真理的不可阻挡的宏伟。

网络上的资料

YouTube频道Numberphile（https://www.youtube.com/watch?v=vKlVNFOHJ9I ）采访了OEIS整数数列在线百科全书（https://oeis.org ）的创建者 Neil Sloane，采访内容涉及一些特别令人难忘的质数，例如 12345678910987654321。

《前5000万个素数》（https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BF03039306/fulltext.pdf ）是数论学家唐·扎吉尔 (Don Zagier，1951 -) 撰写的一篇经典但技术性很强的文章，非专业人士也可以从中获益。他写道：“关于素数的分布有两个事实，我希望能够让你们信服，让它们永远铭刻在你们心中。”

互联网梅森素数大搜寻GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search，https://www.mersenne.org ）正在寻找已知的最大素数。