本月主题：
乌鸦能数到四
“当代数让你微笑时”
等号的含义
作者：Tony Phillips教授 2024-9-11 译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2024-9-13 |
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1. 乌鸦可以数到...四
图源：pete beard via Flickr under CC BY 2.0 DEED
黛安娜·廖（Diana Liao）和她在图宾根的同事能够训练乌鸦在视觉和听觉提示下发出特定次数的叫声。他们在《科学》杂志上发表的文章 https://www.science.org/doi/10.1126/science.adl0984 于5月28日被Audubon奥杜邦协会转载 https://www.audubon.org/magazine/crows-can-count-aloud-much-toddlers-new-study-finds ，29日被《Smithsonian 史密森尼安》杂志转载 https://www.smithsonianmag.com/smart-news/crows-can-count-up-to-four-like-human-toddlers-study-suggests-180984420/ 。
参与这项研究的三只雄性乌鸦是从大学鸟舍借来的。它们属于西欧常见的小嘴乌鸦（拉丁学名：Corvus corone ，英文名：Carrion crow https://www.inaturalist.org/guide_taxa/282218 ）。
乌鸦经过一年多的训练，学会了通过叫一声、两声、三声或四声来对提示做出反应，然后在十天内被做评估测验。在一个典型的视觉模式测验中，乌鸦会看到一个彩色数字：紫色的1、橙色的2、蓝绿色的3或粉色的4。（在这种情况下，这些印度-阿拉伯数字可能只是充当了四种不同的形状）。然后它有10秒钟的时间叫一定的次数，并啄食“回车键”以表示它已经完成。如果叫声次数与提示相匹配，乌鸦将获得一条面粉虫或一粒鸟食作为奖励。失败则暂停测验。
受试乌鸦反应的分布与它们对底层数字概念的实际互动相一致。例如，正如作者所观察到的，误差通常为正或负一个单位，并且当目标数字增加时，误差往往会更大。作者报告的另一个重要观察结果是，对于较大的目标数字，反应时间（刺激和第一次发声之间的延迟）系统性地更长；正如他们所说，这“表明乌鸦在运动发生之前计划即将发出的所有发声次数。”此外，正如他们所报告的，第一个“嘎嘎”的音质可以相当准确地预测发声的总数。
7月18日，NPR的Ari Daniel对此做了报道。这场四分钟的广播 https://www.npr.org/2024/07/18/g-s1-9773/crows-count-out-loud-human-toddlers-animal-intelligence 包含了四个听觉提示和其中一个听觉提示测验的录音，最后引用了与该项目无关的生物学家Chris Templeton的话：“动物在很多方面都很聪明，这些方面可能和我们一样，也可能不一样。” Daniel补充道：“这意味着如果乌鸦给我们一个智力测试，我们可能通过不了。”
2. “当代数让你微笑时。”
塔夫茨大学的两位教授 Barbara Brizuela 和 Susanne Strachota 在《 学习与教学 Learning and Instruction》杂志（2024年5月17日）上发表了一篇文章，题为“当代数让你微笑时：早期代数练习的趣味互动” https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2024.101933 。
Brizuela和Strachota跟踪了对69名儿童（四个教室）的数学教学两年半。这些孩子的受教育水平是早期代数、2、3和4年级，学生年龄在7-10岁。作者希望追踪“学生在参与数学练习时可以体验到的快乐”。正如他们所解释的那样，大多数关于学生对数学教学的情绪反应的研究都集中在消极方面。即使是关于如何最好地支持自驱的“好玩的”学习的研究，也旨在防止无聊和“数学恐惧症”（math phobia）。没有人考虑过孩子们实际上可以享受数学的可能性，或者体验作者所说的“积极的认知情感”（positive epistemic affect，本质上是理解的乐趣）。
作者着手描述已故数学家詹姆斯·卡普特（James Kaput，1942 - 2005 https://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2008b-james-j-kaput.pdf ）所确定的此阶段学生特征的下列四种实践，所对应的学生们表现积极认知情感的实例：
概括数学结构
表示数学结构
推理数学结构
辩护这些概括的合理性
课堂被记录下来，Brizuela和Strachota确定了与学生的享受愉悦度相关的可观察行为：明显的言语、身体姿势和动作、面部表情（例如微笑或假笑）和凝视。正如他们所说：“我们确定快乐的标志，并描述它们如何与学生参与早期代数中的具体数学练习同时发生。”在该论文中，他们挑选了三个涉及不同数学任务的案例，分析了这些任务的教学方式以及学生参与的方式。
一个很好的例子来自一堂关于数轴的课。教师兼研究员提出了一个开放式问题，即数轴会延伸多远。作者复制了随后的对话记录，并进行了注释以记录所代表的实践和表现出的情感标记。有一次，其中一名学生塔利克提到了“无穷大”。老师问他：“那是什么，塔利克？”他面带微笑地解释道：“数轴就是不断延伸。”过了一会儿，老师重复了塔利克所说的话：“它应该不断延伸，”并问：“我们什么时候会停下来？”一位身份不明的学生说：“它是无穷大。我们永远不会停止。”老师注意到费利佩想说话，于是叫了他。他主动说：“我们会停在无穷大并超越无穷大 - 飞向宇宙，浩瀚无垠。”老师重复了他所说的话，并问：“那是什么意思？”费利佩以陈述命题的形式面无笑容地回答道：“巴斯光年。”
图源：百度图片搜索
作者指出， 《玩具总动员2》中的巴斯光年属于“相关且熟悉的背景”，是“以有趣的方式学习”的标准之一。（巴斯光年的口头禅“飞向宇宙，浩瀚无垠！To infinity … and beyond ”曾被评为史上最佳电影台词）。
3. 等号的含义
6月16日，克莱尔·沃森在《科学快讯 Science Alert》上向公众发布了凯文·巴扎德（Kevin Buzzard）在ArXiV 上发表的一篇文章 https://www.sciencealert.com/mathematician-reveals-equals-has-more-than-one-meaning-in-math ：“数学家揭示‘等号’在数学中不止一个含义。”这个标题可能让人想起蒙提·派森（Monty Python）的短剧，彼得·库克（Peter Cook）问约翰·克里斯（John Cleese）：“你使用‘是（yes）’的意思是肯定的吗？”或者比尔·克林顿（Bill Clinton）在陪审团上辩护说：“这取决于‘是’这个词的含义。” https://www.washingtonpost.com/wp-srv/politics/special/clinton/stories/bctest092198_4.htm 但这是严肃的。当我们试图让计算机处理数学论证时，例如检查证明是否正确，就会出现问题。事实证明，我们对“等号”的使用遵循人类的惯例，通常是心照不宣的，这会导致机器无法理解的命题。
巴扎德的帖子重点介绍了著名代数几何学家亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014） 作品中相当晦涩的例子，但还有更多基本的例子。多边形的对称群是一组将该多边形变回自身的刚性运动（旋转和反射）。例如，如果多边形是等边三角形，则顺时针或逆时针旋转120°会使其回到自身。这是一种对称性。同样，通过其任何一条边平分线（中线）反射三角形会使其回到自身。这会产生另外三个对称。将集合称为群（group）意味着存在一个乘法，将任意两个元素合成起来得到第三个元素。对于多边形的对称性，“乘法”运算就是合成：执行第一个运动，然后执行第二个运动。下面的顶部表格显示了这种“乘法”对于等边三角形的工作原理。例如，旋转120°然后旋转240°将我们带回到开始的地方。（使一切保持不变的对称被标记为𝐈，即恒等元）。
谷歌搜索“等边三角形的对称群”会跳转到此维基百科页面 https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6 ，你可以在其中看到“二面体群 𝐃₃ 是等边三角形的对称群”和“在数学中，𝐃₃ ... 等于对称群 𝐒₃”。在另一个页面上，你会发现 𝐒₃ 是可对3个符号执行的置换群。这两个群“相等”是什么意思？
下图显示了等边三角形的对称性。左侧，三角形被分成三个部分，颜色分别为红色、蓝色和黄色。箭头右侧描绘了这些彩色区域在应用旋转和反射时如何改变位置。右侧的图表显示了群乘法表，其中群运算是变换的合成。
等边三角形的对称性包括恒等对称𝐈、旋转120°、旋转240° 和三种反射（每种反射分别固定其中一个不同的顶点）。下表说明了群定律：列指定第一个操作，行指定第二个操作。图片由 Tony Phillips 提供。
对称群S₃的乘法表，其中群运算为合成（composition）。
符号序列的置换（permutation）是对该序列的重新排序。上表说明了三元组 𝐚,𝐛,𝐜 的排列。一共有 6 个（包括恒等重新排序 𝐈）；一种方便的标记方法是“循环符号”，如右图所示：<𝐚𝐛𝐜> 将 𝐚 转换为 𝐛，将 𝐛 转换为 𝐜，将 𝐜 转换为 𝐚，而 <𝐚𝐛> 将 𝐚 转换为 𝐛，将 𝐛 转换为 𝐚，并将 𝐜 保留不变。群定律同样是合成定律，如表所示。图片由 Tony Phillips 提供。
当我们说两个集合相等时，我们的意思是它们具有相同的元素。群 𝐃₃ 和 𝐒₃ 显然不具有相同的元素，但比较两个乘法表表明，将 120° 旋转与置换 <𝐚𝐛𝐜> 匹配，将240°旋转与置换 <𝐚𝐜𝐛> 匹配，以此类推，沿着两个列表，将乘积转化为乘积，并表明这些群在符号上确实是“相同的”。这可能是“𝐃₃ 等于 𝐒₃”的含义吗？问题是机器需要知道哪个元素与哪个元素匹配，而这里给出的识别不是自动的。
一个等边三角形，其顶点分别标记为（从左下方开始顺时针）a、b 和 c。
我们认为的 𝐃₃ 和 𝐒₃ 相等相当于对三角形顶点进行标记。不同的标记可能会导致截然不同的相等。图片由 Tony Phillips 提供。
实际上，我们的匹配相当于用符号 𝐚,𝐛,𝐜 标记三角形的顶点，按逆时针方向读取。但我们也可以按顺时针标记它们；那么 120° 旋转将对应于排列 <𝐚𝐜𝐛>，等等；这两个群结构仍然会完美匹配，但方式不同。
巴扎德解释说，在谈论结构和“相等性”时这种不精确性并没有导致数学中的任何错误，但要将数学形式化到计算机达到可用的程度，就必须澄清这一点。
参考资料 |
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https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-june-2024/
https://www.science.org/doi/10.1126/science.adl0984
https://www.audubon.org/magazine/crows-can-count-aloud-much-toddlers-new-study-finds
https://www.smithsonianmag.com/smart-news/crows-can-count-up-to-four-like-human-toddlers-study-suggests-180984420/
https://www.inaturalist.org/guide_taxa/282218
https://www.npr.org/2024/07/18/g-s1-9773/crows-count-out-loud-human-toddlers-animal-intelligence
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2024.101933
https://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2008b-james-j-kaput.pdf
https://www.sciencealert.com/mathematician-reveals-equals-has-more-than-one-meaning-in-math
https://www.washingtonpost.com/wp-srv/politics/special/clinton/stories/bctest092198_4.htm
https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6
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