两名数学家已经证明了一个长期存在的猜想，这是在平面上寻找最差堆积形状的道路上迈开的一步。
图源：Nico Roper / Quanta Magazine
作者：Gregory Barber《量子杂志》特约撰稿人 2024-6-28 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-6-29 |
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几个世纪以来，数学家们一直猜测六边形瓷砖是铺满平面的最佳方式。这意味着，如果你想将大面积瓷砖细分为相同尺寸的瓷砖，并使得每个瓷砖的周长最小，那么没有比六边形更佳的形状。1999年，匹兹堡大学的托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）终于证明了这一点 https://arxiv.org/abs/math/9906042 。六边形比正方形、三角形或任何其他替代品都要好。
但是许多形状不能在不留缝隙的情况下密铺。例如，圆形显然不能。一个六边形的圆形堆积，摆弄最佳阵型之后，将覆盖近90.69%的平面。
图源：Mark Belan / Quanta Magazine
在1920年代，数学家们开始思考：堆积最差的形状是什么？换句话说，什么形状会留下最大的缝隙，即使你以最优的方式堆积它？Hales和他以前的研究生Koundinya Vajjha（瓦杰哈，现在是英特尔的工程师）的一篇新论文 https://arxiv.org/abs/2405.04331 标志着这类形状搜索的重大突破。
定义一个最差的形状需要一些规则。很容易想出包含孔洞或向内凹陷的任意差的形状，例如这些镂空的正方形：
这些差的形状在数学上并不是那么有趣，因为通过使边缘变得更薄，可以很容易地想出一个形状，迫使任意大部分面积成为空的。但是，如果你加上形状是凸（convex ）的要求——这意味着如果你选择形状中的任意两个点，连接它们的线段将包含在形状中——那么像这样的空心形状是被禁止的，事情就会变得更加有趣。
数学家对具有一个附加约束的形状感兴趣：中心对称性。在不要求中心对称性的情况下，已知最差的形状是正七边形（覆盖平面：约89.27%），尽管数学家远不能证明它是最差的。Hales和Vajjha研究了一个更受限制、因而更简单的问题：什么是最差的既是凸形又是中心对称的堆积形状？
在中心对称形状中，例如一个八边形（左图），从中心到边缘画出的线与其在中心点上的反射的长度相同。而对于一个七边形（右图），这个结论是不成立的。
数学家最初认为它是一个圆。然后，在1934年，一位名叫卡尔·莱因哈特（Karl Reinhardt，1895 - 1941，请勿与另一个同时代同国同名文学家混淆，zzllrr小乐译注）的德国数学家发现了更差的形状：一个边缘圆润的八边形。当使用双曲线绘制角中的这些弧线时，总覆盖率约为90.24%。这与圆的90.69%相比差异很小，但在数学上至关重要。
莱因哈特无法证明他的圆角八边形是最差的形状。其他人也做不到。“我一直认为莱因哈特可能是对的，但这个理论并不是为了解决这个问题，”微软研究院的数学家亨利·科恩（Henry Cohn）说，他以在更高维度上堆积球体的工作而闻名。“我们能看到证明吗？可能在我有生之年都不会。”
这样的一个证明还没有到来。但Hales和Vajjha五月的论文证明了一个关键的中间猜想。
比起在六边形上的成果，Hales更为出名的是，他在1990年代后期证明了约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571 - 1630）在17世纪关于在三维空间中堆积球体的最佳方法的猜想（有时被称为橙子堆叠问题，因为它唤起了市场上成堆的水果）。但由于它依赖于计算机计算，因此在证明首次发表后，他花了数年时间才说服数学界相信其有效性。
2007年，在越南休假期间，Hales在证明开普勒的猜想时，将注意力从最优的堆积转向最差的堆积。但进展缓慢。
最差的情形尚未到来 |
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Hales试图从莱因哈特离开的地方继续，但他很快意识到变分法不足以解决问题。他观察到，核心问题是，虽然这些技术有助于找到最适合一组所需参数的最优曲线，但他正在寻找的解并不完全是曲线。如果解像莱因哈特所猜想的那样，它将是一个更复杂的结构，将曲线和直边混合在一起。
几十年前，Thomas Hales因证明最优堆积而闻名。现在他把注意力转向了最差的情形。
图源：Joe Appel
2017年，经过十年的断断续续的工作，Hales发表了一份预印本 https://arxiv.org/abs/1703.01352 ，为证明提供了某种蓝图。他建议使用一种称为最优控制论（optimal control theory）的数学分支，他认为这种分支更适合探索大转弯的结构。对于其他数学家来说，一个难以解决的问题突然变得可行了。“这种创造力给我留下了深刻的印象，”Cohn说。“但另一方面，我想，要真正实现它需要做很多工作。”
在Hales提出他的蓝图后不久，Vajjha来到匹兹堡时感到有些迷茫，就像许多学生在研究生院的早期一样。他希望研究形式化的方法——用于验证软件和硬件的技术——并参加了镇上的各种讲座，以寻找合适的问题。在其中一次讲座中，他了解到寻找最优的最差堆积，他发现这个问题的欺骗性技巧很有趣。那天晚些时候，当他发现Hales的预印本时，他更感兴趣，该预印本提出了一种全新的方法来解决这个问题。
两人在接下来的一周见面了。“我告诉他，‘如果这很容易，你为什么不去做呢？'”Vajjha回忆道。Hales回答说，他们可能会在大约六个月内一起解决这个问题。Vajjha同意了。“事情从来都不是那么容易的，”他最近说。
为了证明圆角八边形是堆积最差的形状，Hales和Vajjha实际上不得不排除所有其他可能的形状。即使有中心对称和凸性等约束条件，他们也在盯着一个具有无限潜在答案的问题，其中许多表现出奇怪的行为，使它们看起来是可行的解，而实际上它们是无效的。例如，有一些候选形状会在直线和曲线之间无限次地翻转，称为“颤动”解（chattering solution）。这听起来可能很矛盾，但这样的形状可能比圆形更好。它们甚至比莱因哈特的圆角八边形更好吗？
Hales对开普勒猜想的大量证明使用了一种计算机辅助方法，该方法涉及用蛮力排除几乎无穷无尽的可能堆积。它被认为是开创性的——而且在当时有点争议，因为审稿人发现这些程序很难验证。Hales希望使用类似的方法来找到最坏的形状，但潜在的“颤动”解是一个障碍。“如果事情无限多次切换，那么在计算机上做到这一点并不容易，”Hales说。
要消除这些结构和其他晦涩难懂的结构，就需要找到创造性的方法来排除它们。他们试图通过引入新的对称约束来简化问题，然后回到原来的问题。“就像在物理学中一样，数学中有这样的想法，如果你有对称性，就有守恒定律，”Hales说。这些法则可能有助于排除一些结构。
Koundinya Vajjha现在是英特尔的一名工程师，他花了数年时间证明圆角八边形是最差的堆积形状。
图源：Vihasi Jani
尽管如此，新的可能性不断出现。“我知道这个问题很难解决，但你总是有更多的结构可以解开，”Vajjha说。“总是只有六个月的时间。”五年过去了，他迟迟没有拿到学位。他打算结婚并搬到西海岸。“我们永远不知道这个问题什么时候会反击，并在下一个世纪内得不到解决。留下一个不完整的证名的想法是痛苦的，但他只是鞭长莫及了。他于2022年8月毕业，曾在一家AI初创公司短暂工作，然后在英特尔正式做验证CPU的工作，回到了他预期的研究领域。
第二年春天，Vajjha回到匹兹堡参加他的毕业典礼。他和Hales感叹说，他们设法详细说明了许多新的想法和方法，但没有产生一个坚实的定理。一周后，Hales意识到：他们几乎证明了库尔特·马勒（Kurt Mahler，1903 - 1988）在1946年提出的相关猜想，库尔特·马勒是一位独立于莱因哈特工作的数学家。“我一直对马勒有点不屑一顾，因为他和莱因哈特在做同样的事情，只是几年后做，”Hales说。但是马勒通过将问题分解为两个步骤做出了重要的观察。他的第一个猜想是，答案是一个光滑的多边形，直边和角用双曲线弧接。他的第二个猜想与莱因哈特的相同——圆角八边形是最差的形状。两人还没有完全达到马勒的第一步，但Hales意识到他们已经很接近了。他恳求Vajjha花一个月的时间考虑一下。
那个月来来去去，两人开始交换电子邮件——揭示更多的结构并驳回它们，承认更多的怀疑和疲惫。一个月延长到一年。然后，最后，Hales给Vajjha发了一条信息。马勒的第一个猜想，“又回到了地平线上。我很确定我已经证明了这一点。”
他们对马勒的第一个猜想的证明 - 六年，而不是六个月 - 是对该主题的260页探索，详细介绍了一系列令人眼花缭乱的候选结构，并使用了比Hales最初想象的更广泛的理论。这项工作尚未经过同行评审，但包括Cohn和加州大学戴维斯分校数学家格雷格·库珀伯格（Greg Kuperberg）在内的数学家对这项工作进行了非正式审查，他们表示，鉴于Hales对复杂证明的谨慎声誉，他们对结果充满信心。
然而，Kuperberg补充说，“他们并没有真正越过终点线。有时，即使理论得到发展并取得了中间步骤，问题也会持续数十年。毕竟，Hales对开普勒猜想的证明依赖于匈牙利数学家拉斯洛·费耶斯·托特（László Fejes Tóth，1915 - 2005）在50年前发展的方法。“也许所有的想法都已经到位，可以完成莱因哈特的工作。也许不是，”Hales说。“我们把这当成一个问号。”
参考资料 |
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https://arxiv.org/abs/math/9906042
https://arxiv.org/abs/2405.04331
https://arxiv.org/abs/1703.01352
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