小乐数学科普：数学大统一理论——《量子杂志》每周数学随笔

文摘 2024-11-21 00:01 江苏

《量子杂志》每周都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学特约撰稿人Joseph Howlett探索了庞大的数学桥梁网络，即朗兰兹纲领（Langlands program）。

作者：Joseph Howlett 量子杂志特约撰稿人 2024-11-18

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-11-20

数学王国可以分为许多不同的领域：数论、几何、代数、拓扑、分析、组合。但最伟大的数学成就往往发生在有人发现其中两个领域之间有意想不到的联系之时。这使得将一个领域的新想法（他山之石）移植到另一个领域来解决问题成为可能（可以攻玉）。数学家称之为“搭桥”。

朗兰兹纲领由加拿大数学家罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands，1936 -）于1967年提出，是“搭桥”的极致体现。正如我们于2022年制作的量子杂志的一则综合视频中所解释的那样，该纲领由一套广泛的猜想组成，它们就像州际高速公路系统一样，紧密连接着数学宇宙中一些最遥远的地方。

朗兰兹最初的猜想假定了数论（算术研究）和调和分析（研究如何将函数分解为更简单的部分）领域中非常不同的数学实体之间的精确对应关系。1994年，数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles，1953 -）证明了这种对应关系的一个小例子：他证明了每个椭圆曲线（一种来自数论的方程）都可以与调和分析中的高度对称函数（称为模形式modular form）相关联。这样的做法使他能够证明费马大定理，这是当时数学中最大的未解问题之一。它还开启了两个研究领域之间丰富而重要的对话。

朗兰兹纲领的目的远不止在椭圆曲线和模形式之间搭桥。它假设了数论和调和分析中更一般的对象之间的对应关系，并暗示了与其他领域的联系，包括代数几何、表示论和量子物理学。

这就是为什么朗兰兹纲领经常被称为“数学的大统一理论”。这种理论的含义既有哲学意义，也有实践意义。曾经被认为是不同的数学世界，每个世界都有自己的语言和习俗，但实际上它们可能都是同一潜在现实的反映。理解这种统一性将使数学家能够跨越该学科虚幻的界限——以最适合的设置（条件）攻克给定问题，然后将结果带回起源之处。

尽管朗兰兹纲领常常显得抽象而深奥，但它却是当今数学领域最广泛、最雄心勃勃的事业。几十年来，数学家们在篇幅惊人的论文中继承了朗兰兹的梦想，并把它带到了他从未想象过的地方。而且这种扩展没有丝毫放缓的迹象。

最新动态和值得关注的内容

朗兰兹纲领的搭桥雄心可以追溯到法国数学家安德烈·韦伊（André Weil，1906 - 1998）。在一封写给他妹妹、才华横溢、不拘一格的哲学家西蒙娜·韦伊（Simone Weil，1909 - 1943）的狱中信中，他梦想着为数学打造一块“罗塞塔石碑” ——一种在多个不同领域的语言之间进行翻译的方法。因此，当朗兰兹在一封长达17页的信中首次勾勒出他对数学统一的愿景时，他将其寄给了韦伊，这绝非巧合。（参阅小乐数学科普：数学的罗塞塔石碑——译自Quanta Magazine量子杂志）

虽然朗兰兹最初的设想将数论与调和分析联系在一起，但数学家们后来利用韦伊的罗塞塔石碑将他的纲领应用到其他领域。1980年代，弗拉基米尔·德林菲尔德（Vladimir Drinfeld，1954 -）对其中一个关键猜想提出了几何解释。几十年来，这个猜想一直未得到解决。今年早些时候，九位数学家在五篇共计800多页的论文中终于证明了几何朗兰兹猜想。这项工作是一项重大成就，它为朗兰兹纲领的许多其他方面提供了可信度。

为了达到这一点，数学家们必须与几何学建立许多联系。2021年，量子杂志报道了两位数学家彼得·舒尔茨（Peter Scholze，1987 -，有史以来最年轻的菲尔兹奖获得者之一）和洛朗·法格斯（Laurent Fargues，1975 -）提供了“迄今为止最有力的证据，证明早期数学家尝试用几何方法实现朗兰兹纲领并不愚蠢”。这项工作涉及使用一种称为Fargues-Fontaine曲线的几何对象来证明特定的朗兰兹对应关系。

2023年，三位数学家重新审视了朗兰兹的一些早期著作，证明了所谓的L-函数与周期之间的对应关系，朗兰兹曾考虑过这种对应关系，但认为它不够重要，不值得研究。他们花了数年时间，最终发表了一篇长达451页的论文，但通过证明几何方法在这个问题中发挥作用，三位数学家证明了朗兰兹错了。毕竟，这种对应关系很重要。

朗兰兹纲领的影响力还在不断扩大。还有许多桥梁有待建造和探索——而且我们无法知道接下来会揭示什么联系，也无法知道它们会让数学家完成什么壮举。通过颠覆对数学地理的假设，该大统一数学理论有朝一日可能会改变我们对数学本身的理解方式。

网络上的报道

多伦多星报（Toronto Star）刊登了桑德罗·孔坦塔（Sandro Contenta）撰写的一篇关于罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）的文章，介绍了他对自己作品和遗产的看法。这篇文章让我真正了解了他的个性——非常有趣，但有点脾气暴躁。https://projects.thestar.com/math-the-canadian-who-reinvented-mathematics/

在播客《万物理论》（Theories of Everything）的两集中，数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel，1968 -，主持人称其为“数学界的阿甘”）解释了几何朗兰兹突破。（弗伦克尔是朗兰兹纲领被经常引用的绰号“数学大统一理论”的作者。）这两集很长，但如果你真的想深入研究这个主题，它们会很有帮助。https://www.youtube.com/watch?v=0AC-Ol1z5vI

弗伦克尔2013年出版的《爱与数学》（Love and Math）一书展示了他将数学概念提炼到日常水平并同时保持一定严谨性的能力。