如果把数学比作“建筑”，我们就像建筑师一样学习使用既有经验构造坚实的新结构，从而确保建筑有稳固的地基，并不断攀登高峰。
如果把数学比作“植物”，我们就像是园丁一样考察花园的景观、土壤质量和气候，从而确保植物有强壮的根基，并且符合预期地生长。
为了帮助读者从中学的“自然”数学过渡到更加复杂、广阔的高等数学，数学大师斯图尔特在《基础数学讲义》中从读者熟悉的生活经验出发，一边构建逻辑联系，一边介绍形式化方法，帮助想要进一步深造数学的读者打磨数学直觉，从而直击数学问题的要害。
《基础数学讲义：走向真正的数学》
作者：伊恩·斯图尔特
译者：姜喆
01
概念的演进改变了数学家的信念
不断构造更大的数系时，每一个阶段都推广了一些性质，也有一些含义产生了变化。我们在自然数中可以讨论质数和因数分解，但是在实数中就不行。正如我们从自然数过渡到负数或者复数时所发现的那样，曾经坚信的观点在更一般的结构中未必正确。
概念的推广固然有其优势，但是无论对于学生还是数学家来说，含义的变化都让人晕头转向。即便像四元数中交换律失效这样，只有一个性质发生改变，也会产生无法预见的后果。比如，我们看到了四元数多项式可以有无限多个根，但是无法根据交换律失效一眼看出这个结果。
这些长期的含义变化不仅为读者带来了麻烦，也随着概念的演进改变了数学家的信念。随着数学的边界不断拓展，这种变化不仅存在于过去、发生在当下，也必将持续到未来。
古希腊人开始公式化地表述几何时，他们认为点、线和面比画在纸上或者沙地上的图形有着更深奥、更完美的含义。对于古希腊人来说，点不仅仅是纸上的一个痕迹，它还表示了平面或者空间中的一个唯一的位置。直线不只是沿着直尺画出的笔迹，它表示的是一条完美的直线，这种柏拉图式的存在超越了人类物理方法表述的极限。圆也比圆规画出的曲线更加完美：它是一个没有大小的点在平面上和圆心保持固定距离移动的轨迹。
同理，我们可以数石头的个数，并且把它们按一定的规则摆放，来揭示一些理论结构，从而表示整数。比如，如果你有一定数量的石头，我们有时候可以把它们摆成长方形阵列，有时候却不行。这就形成了合数和质数的概念，最终引出了质数有无限多个，每个整数都能唯一地表示为质数之积这两个结果的形式化证明。
古希腊人的数学基于自然现象，但是又有着完美的柏拉图式性质，无法用物理方法模拟。因为他们的数学源于对自然现象的观察，所以他们的数学是自然的。但他们又会在想象的世界中寻求完美的理论基础，让他们超脱自然的限制。
接着他们开始思考更一般的数。因为他们只能用几何来思考，所以他们先是把数想象为长度、面积和体积。基于其他领域的经验（比如弦在长度二分之一、三分之一或者三分之二的地方振动可以产生和弦，而和弦是音乐理论的基础），他们把这些量和整数之比联系了起来。但后来他们发现直角边均为单位长度的直角三角形的斜边不能这样表示，因此必须把它也纳入数学理论中。
02
从自然数学走向形式化方法
后来的数学家引入新数系，不断拓展了这些概念。每个数系中引入的新词汇其实都表现了人们对于新含义的担忧：正数和负数，有理数和无理数，实数和复数（以及后者的实部和虚部）。加粗的词都有着负面含义。每次扩张之后，新数系乍一看都更加抽象，和自然现象毫无瓜葛。
但是随着数学家对新数系的理解加深，他们发现可以把负数理解为扩张后的数轴上的点，把复数理解为平面上的点。与此同时，熟悉的旧概念也变得和新概念一样扑朔迷离了。等到数学家终于理解了复数之后，他们反而开始思考实数的本质了。
几何概念依然基于点和线：点位于线上，而线穿过点。即便笛卡儿用一对数(x y ) 把点表示在了平面上，古希腊人对于点和线的看法依然是几何思维的自然基础。
牛顿使用古希腊几何和符号代数构建了他的微积分思想，解释了重力和天体运动等自然现象。
莱布尼茨思考了无穷小量，并给出了一套强大的符号系统，用来表示微积分。
尽管逻辑基础饱受质疑，但这一系统还是经受住了时间的考验。在他们之后的数学巨匠们则各自专注于不同领域。
欧拉利用幂级数和复数来代数式地运用符号，而柯西用几何方法解释无穷小量，把它们想象为直线上或者平面上任意小的可变量。欧拉当时发表的很多论文放到今天可能都无法通过，而柯西的无穷小量的概念后来被广泛批评。
柯西的方法将实分析和复分析中的图像和符号方法相结合，取得了重大进展，但也招致了大量对其准确含义的批评。
这些批评的核心在于：无穷小量的含义没有得到完整解释。他的方法更像是基于一种“它从前没有自相矛盾，所以现在一定也没有问题”的盲信。
19 世纪后半叶和20世纪初的时候，发生了从自然数学向形式化方法的转变。数学家用集合论定义数学实体，并只靠数学证明来推导它们的性质。
据说，戴维·希尔伯特在一堂几何基础的讲座之后和同事们在柏林火车站休息，他当时说道：“即便用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、直线和平面，几何理论也必须行得通。”这句话的意义在于，数学不必只依赖于自然现象。从此我们不再只关注对象是什么，而是关注它们的形式化定义的性质。
于是我们不再认为点标在线上，而是认为实轴是一个由点组成的集合。“自然”数学感知到的是点在直线上平滑地移动，而形式数学把数重新解读为固定的实体，它们构成了实数这一集合。
在这段时期，新的思维方式不仅应用于自然现象，也应用到了用形式化陈述的性质所描述的系统中。当时出现了大量不同的思维方法，各自侧重于不同的数学领域。
举例如下。
● 直觉主义：基于人类认知和构造方法的自然数学，其中构造必须由有限的运算序列完成，并且不允许使用反证法。
● 逻辑主义：数学基于形式逻辑，不依赖于任何自然直觉。
● 形式主义：数学具有一个形式化的集合论基础。希尔伯特承认这个基础可能源于自然的直觉经验，但是它必须用集合论的定义和形式化证明来系统阐述。
03
掌握两种互补的思维模式
因为数学家的关注点不同，所以后来数学也发展出了多种多样的领域。
应用数学家研究实际问题，并且构造数学模型来解决问题。物理学家考察重力或磁力这样的自然现象，用牛顿力学或者爱因斯坦相对论的四维时空来构造数学模型。他们认为宇宙起源于一次大爆炸，而大爆炸理论本身是一种宇宙扩张的数学模型。他们思考原子的结构，构造亚原子粒子的模型，用复杂的实验来检验模型是否匹配现实世界。气候学家构建长期天气变化的数学模型。经济学家构建经济增长的数学模型，并基于它做出时而准确时而错误的预测。如果模型不足以预测，那么就会寻找预测更精确的模型。
与此同时，纯数学家试图构建精密的理论，让它在明确的上下文中自洽。数学家从任何吸引他们的现象中汲取灵感，寻找解决问题的规律和联系。他们有时使用已有的理论解决问题，有时根据经验来提出新的可能性，有时则思考已有的理论来寻找新的定理，从而给出新的形式化定义并建立新的形式理论。许多数学家会视情况混用这些方法，毕竟每个人对数学研究方法都有自己的偏好。
学生们在学习不同领域时，很可能遇到截然不同的方法。读者应当冷静地看待它们，多样性自有其优势。数学是艰深的：我们要尽可能地用上所有能想到的方法来思考。你掌握的工具和方法越多，能创造的成果也就越多。
为了帮助读者从中学的“自然”数学过渡到更加复杂、广阔的高等数学，本书从读者熟悉的生活经验出发，一边构建逻辑联系，一边介绍形式化方法。
在掌握了形式化方法之后，读者就可以掌握两种互补的思维模式。这两种思维模式不是互斥的：读者只需要选择在上下文中最有帮助、最有成效的即可。其中一种是从直觉出发，构造形式化结构的自然方法；另一种是利用集合论定义证明这些结构的性质，从而形式化地构造它们的形式化方法。读者应该根据上下文灵活地选择合适的方法。
基于熟悉的图像和符号运算的自然方法更容易被人脑理解，但形式化地证明相关性质可以由形式化定义推导出来也是必要的。你还可能发现从未想过的新可能性。例如，复数把我们熟悉的小数扩展到了一个允许求-1的平方根的系统，而复数到四元数的扩张则得到了一个不满足乘法交换律、二次方程可以有无限多个根的系统。形式化的方法为这些新概念打好地基提供了所必需的结构。
形式化方法关注从特定假设开始的逻辑推导的准确性，可以用来构造头脑中联系知识的基模。赋予这些基模以图形和符号意义，让我们能从自然角度理解它们。我们可以证明特定的结构定理来实现这一过程：这些定理证明一个已知的形式化结构有着可以形式推导的性质，这些性质可以把概念表示为图像或者符号，进而解决问题。
这使得数学能够用不同的方法发展：可以基于逻辑推导，也可以在形式证明的支持下，用图像或者符号运算来自然地思考形式系统。
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