《量子杂志》每周都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学专栏作家约瑟夫·豪利特深入探讨了两个相关但不同的领域——几何和拓扑之间的相互作用。
作者：Joseph Howlett 量子杂志数学专栏作家 2024-9-2 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-9-3 |
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关于形状的两种数学视角
约瑟夫·豪利特 / Quanta Magazine
几何学（研究形状的学科）是学校数学课程的必修课。但数学中还有另一个领域与形状有关，尽管思考角度截然不同。数学家利用该领域（称为拓扑学）和几何学来探索超乎想象的空间。
几何学涉及量化固定形状的性质：长度、角度、体积等等。几何学家眼中的物体就像宝石一样坚硬——可以移动但不能扭曲。另一方面，拓扑学家可以像粘土一样拉伸和压缩他们研究的形状。他们看不出球体和立方体之间的区别，因为其中一个可以很容易地被塑造成另一个而不会破裂或撕裂。
拓扑学家关心的是孔（即一个形状有多少个孔）以及形状如何缠绕在自身周围。甜甜圈和咖啡杯都有一个孔，可以防止它们收缩到某一点，所以它们在拓扑上是相同的。但它们不同于没有孔的球体或无柄咖啡杯。类似地，两个纽结（在高维空间中扭曲形状时形成）如果其中一个可以通过缠绕或解开变成另一个纽结，则在拓扑上是相同的。
如果只能通过切割或粘合来实现这一点，则它们在拓扑上是不同的。各种曲面以及它们的高维亲戚（称为流形manifold）都具有有趣的几何和拓扑性质，数学家们想要弄清楚这些性质。
为了了解我们周围的世界——从数据集的形状到宇宙的形状——数学家不断地测试他们的几何和拓扑工具包的极限。
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拓扑学家通常会尝试完全避开几何学，例如莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）于1736年证明，如果不经过同一座桥两次，就无法穿越整个柯尼斯堡市。
他意识到，这个问题实际上与路径的拓扑学有关，而不是其几何学，这被认为是该领域最早的里程碑式发现。
从那时起，数学家们就使用拓扑方法解决了许多几何问题。2020 年的一项证明就是如此，该证明确定每条光滑封闭曲线都包含一个矩形。次年， 《量子杂志》 报道了复杂拓扑方法的发展及其在轨道物体几何问题中的应用。去年，布朗大学的理查德·施瓦茨 (Richard Schwartz) 引入了拓扑技术来寻找几何上“最优”的形状，比如可以用来制作莫比乌斯带的最厚的矩形。在此过程中，他验证了一个可以追溯到1970年代的猜想。
有时也会发生相反的情况，理解形状的几何形状可以对其拓扑结构提供重要的见解。例如，人们早就知道，形状的局部几何特性（例如所谓的曲率curvature）限制了其拓扑外观。假设你对给定二维曲面的了解仅限于它在每个点都是正曲率。那么它只能是球体的表面或其他更复杂的形状。几何曲率数据足以告诉你这一点。
今年， 量子杂志又写了一篇关于曲率在确定拓扑结构中的作用的文章。请参阅小乐数学科普：奇怪的弯曲形状打破了50年的几何猜想（米尔诺Milnor猜想）——译自Quanta Magazine 。
事实证明，局部几何测量甚至可以为整个宇宙的拓扑结构提供线索。
几何学还有许多其他应用，拓扑学却无能为力。当所讨论的物体必须是刚性时，例如当你将形状尽可能紧密地排列时，请参阅小乐数学科普：为什么这种形状堆积起来如此之差？——译自量子杂志Quanta Magazine 或者当距离至关重要时，例如当你试图在正方形内构造不同大小的三角形时，拓扑学就派不上用场了。但在上个世纪，拓扑学这个相对新兴的领域确实帮助拓宽了其更古老表亲的视野。
网络上的资料 |
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瑞典皇家科学院发表了一篇精彩的总结，介绍了 2016 年诺贝尔物理学奖获得者如何利用拓扑技术在相变方面取得突破。 https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016-1.pdf
3Blue1Brown有一个视频，以直观的方式解释了“内接矩形”问题基于拓扑的证明。https://www.youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8
《科学新闻》最近刊登了一篇文章，讲述了我们的宇宙的拓扑结构仍未得到确定，以及吃豆人可能向我们揭示的有关宇宙形状的信息。https://www.sciencenews.org/article/universe-geometry-doughnut-physics
参考资料 |
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https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/
https://www.quantamagazine.org/why-is-this-shape-so-terrible-to-pack-20240628/
https://www.quantamagazine.org/the-biggest-smallest-triangle-just-got-smaller-20230908/
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016-1.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8
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