有用的数学概念，如数轴，在被严格定义之前可能会徘徊数千年。
图源：Nico Roper / Quanta Magazine
作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志资深作家 2024-6-21 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-6-23 |
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古希腊人愿意相信，宇宙可以只用整数及整数之间的比率——分数，即我们现在所说的有理数，来描述它的完整性。但是，当他们考虑一个边长为1的正方形时，这种愿望被破坏了，结果发现它的对角线的长度不可能写成分数。
对这种不可能性的第一个证明（会有几个）通常归功于公元前6世纪的哲学家毕达哥拉斯，尽管他的著作都没有幸存下来，人们对他也知之甚少。然而，“这是我们所谓的数学基础的第一次危机，”安大略省伦敦西部大学名誉教授约翰·贝尔（John Bell）说。
这场危机在很长一段时间内都未得到解决。虽然古希腊人可以确定√2不是什么，但他们没有一种语言来解释√2是什么。
这样勉强持续了一千多年。文艺复兴时期，数学家在试图求解代数方程时操纵了他们所谓的无理数。平方根的现代符号在16世纪和17世纪开始使用。但是，它们仍然有一些站不稳脚跟的东西。√2是否以与2相同的方式存在？当时尚不清楚。
什么是无理数？
几千年来，数学家一直在使用无理数，但直到19世纪才提出一个严格的定义。
有理数 无理数
可以写成两个整数之比 不可以写成两个整数之比
但是，你能根据无理数是什么来定义无理数，而不是用无理数不是什么来定义它吗？
戴德金分割
无理数可以定义为两组有理数之间的对象。对于√2而言，第一组里面都是平方小于2的有理数。第二组为平方大于2的有理数。√2是划分它们的分界线。
制图：Mark Belan / Quanta Magazine
数学家们继续生活在这种模棱两可中。然后，在1800年代中期，理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831 - 1916）等人意识到，200年前由艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643 - 1727） 和戈特弗里德·莱布尼茨 （Gottfried Leibniz，1646 - 1716）发展的微积分建立在摇摇欲坠的基础上。戴德金是一位内向但有天赋的数学家，工作缓慢，发表的文章相对较少，他意识到他无法对函数连续的含义给出令人满意的解释，当时他正准备教他的学生有关连续函数的知识。
他甚至没有看到恰当定义的函数。他认为，这需要很好地理解数字是如何工作的——数学家似乎认为这是理所当然的。他问，你怎么能确定√2乘以√3等于√6？他想提供一些解答。
因此，他引入了一种仅使用有理数来定义和构造无理数的方法。它是这样工作的：首先，将所有有理数分成两个集合，使得一个集合中的所有分数都小于另一个集合中的分数。例如，在一个分组中，收集所有平方小于2的有理数；在另一分组中，放置所有平方大于2的有理数。正好一个数字堵住了这两组之间的漏洞。数学家给它贴上了标签√2 。因此，对于戴德金来说，无理数是由一对无限的有理数集定义的，这产生了他所谓的分割。“这是一个非常可爱的想法，”华威大学的伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）说。“你可以确定缺失的无理数，不是通过描述它们，而是通过描述它们必须所处的间隙。”
戴德金证明，你可以用这种方式填充整个数轴，第一次严格地定义了现在所谓的实数（有理数和无理数的混合）。
大约在戴德金推出他的分割的同时，他的朋友和合作者格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845 - 1918）也开始考虑无理数。这种重叠使他们的关系变得复杂。“他们是好朋友，互相憎恨。他们合作，互相轻视，”以色列开放大学校长、科学史学家利奥·科里（Leo Corry）说。
19世纪的数学家理查德·戴德金（左）和格奥尔格·康托尔（右）是朋友和对手，他们提出了新的、严格的方法来定义数字。
历史和艺术收藏 / Alamy
康托尔对无理数提出了不同的定义。他用逼近或“收敛”到特定值的有理数序列来表达每个无理数。尽管康托尔的无理数最初看起来与戴德金的不一样，但后来的工作证明它们在数学上是等价的。
康托尔的工作使他想知道有多少个数字存在。这个问题乍一看可能很奇怪。有无限多的整数——你总是可以继续加一。据推测，这与一组数字所能达到的一样大。但康托尔证明，矛盾的是，尽管分数的数量与整数的数量相同，但可证明无理数（比有理数）更多。他是第一个意识到有多种大小的无限的人。
数轴比任何人想象的都更拥挤，更奇怪。但数学家们只有在改变观念后才能看到这一点。
戴德金的分割可以说是现代数学的开端。“这确实是数学史上数学家真正知道他们在说什么的第一点，”斯图尔特说。戴德金和其他人第一次用他的定义证明了微积分中的主要定理——这使他们不仅加固了莱布尼茨和牛顿所建立的大厦，而且丰富了它。戴德金的工作使数学家能够更好地理解数列和函数。艾米·诺特（Emmy Noether，1882 - 1935）是一位多产的数学家，在20世纪初帮助塑造了抽象代数领域，据说她曾告诉她的学生， https://core.ac.uk/download/pdf/82253306.pdf “一切都已经在戴德金当中了。”
√2正式的定义为超越最初激发戴德金的微积分主题的探索开辟了新的视野。正如斯图尔特所说，“在戴德金之后，数学家们开始意识到你可以完全发明新概念。…数学的整个概念变得更加广阔和灵活。”
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