小乐数学科普：2024年阿贝尔奖得主访谈（下）：米歇尔·塔拉格兰 Michel Talagrand——译自EMS欧洲数学会杂志

文摘 2024-11-18 08:11 江苏

接上文《小乐数学科普：2024年阿贝尔奖得主访谈（上）：米歇尔·塔拉格兰 Michel Talagrand——译自EMS欧洲数学会杂志》

作者：Bjørn Ian Dundas / Christian F. Skau 2024-11-15

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-11-18

塔拉格兰在阿贝尔研讨会上发表演讲

测度集中度

[BID/CFS]：让我们谈谈所谓的测度集中度现象。您自己也说过，您发现第一个集中度不等式是一次神奇的经历。让我们从经典的二维等周不等式开始，它指出如果我们有一个长度为 L 的闭合绳子，则 L² ≥4πA，其中A是绳子在平面内所围成的面积。当且仅当形状是一个圆时，这个不等式才取得等号。这个等周问题与测度集中度有何关系？

MT：好的，我会尽力解释一下。你提到的例子当然是古希腊人所知道的。所以花了一些时间。这是发生在平面上的事情，而我所做的工作是在高维空间中进行的。

所以，我必须转移到，比如说，n维欧几里得空间。让我陈述一个非常相关的简单问题。你将给定体积的物体放入n维空间，你观察整个空间中与该物体距离为t的点集。该点集的体积可以有多小？当你的原始物体是一个球时，就会出现一种极端的情况。然后你就可以计算一切，因为给定距离内的点集合是另一个球。这就是极端情况。但在这种情况下，你还看不到测度的集中度。要查看测度的集中度，必须移动到球体。所以你取n维欧氏空间的半径为√n的球体（适当的标准化）。这是我们无法想象的。

著名的莱维（Paul Lévy，1886 - 1971）等周不等式准确地描述了这一现象，他于1917年证明了这一点。值得注意的是，这一发现的结果花了很长时间才产生。这一突破是由一名概率学家取得的，但花了50多年才真正影响概率论。

让我举一个简单的例子：在球体上，你取测度集的一半。它包含球体一半的点。现在你看看这个球体上给定距离t内的点集X。所发生的是集合X几乎是整个球体。事实上，不在距离t之内的点，即X的补集，它们的测度至多是e^(−t²/2) 。因此它以指数方式快速减小，并且与球体的维数无关。这才是重要的。

结果是，如果球面上有一个表现良好的函数，例如Lipschitz 函数，那么它很可能接近常数。现在几乎恒定意味着无论球体有多大，其波动都是相同的。这实际上是大数定律的非常深刻的概括。我从维塔利·米尔曼（Vitali Milman，1939 -）那里学到了这个想法，米尔曼和米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov，1943 -）对此进行了研究。他们提出了测度集中现象，这是对球体的情况的推广。

[BID/CFS]：Paul Lévy看到了吗？

MT：不，莱维没有看到这一点。他于71年去世。现在球体，即几何，而几何不是我的领域。我的领域是乘积空间。不同测度空间的乘积，这就是我所考虑的。众所周知，乘积空间中存在某种测度集中的现象。事实上，如果你取一个包含至少一半点的乘积的子集A，基本上在乘积中的每一点x都接近A，从某种意义上说，可以在A中找到一点y，与点x相比至多有√n个坐标分量不同。事实上，从具体例子中我们可以看出，事实远不止如此。即，x和y不同的坐标分量集合用记号I(y)表示，y随着A在变化，使得集合I(y)的基数约为√n ，（与n相比）相差很大。我下面讨论的凸化不等式刻画了这种现象并对其进行了量化。

然而，我受到巴拿赫空间中一些相当特殊的概率问题的激励。我想知道你是否可以有一些其他的亲近概念来表现出同样的现象。我非常幸运的是，确实有这样的事情，但没有人以恰当的视角来看待它们。只要有恰当的视角，发现这一点其实并不难。因此，你有这样的一般性陈述：如果在乘积空间中你取一个足够大的集合，其中包含一半的点，那么在各种接近度意义上，大多数点都接近该集合。

这对于概率有很多应用，因为有很多概率对象是建立在独立随机变量之上的。值得注意的是，你可能会说这来自等周思想，但等周已经消失了！集合的边界并不存在，剩下的只是测度现象的集中性。我再次强调，重要的结果是测度集中性。

我对维塔利·米尔曼表示感谢，因为他让我相信这是一个重要的想法。我必须承认，当我第一次或第二次看到他谈论这个时，我想：这家伙太着迷了。这一切有什么意义呢？不，他是一个有远见的人！现在，有了远见并能够在技术上证明这一点，还有一段距离。但你不能没有愿景，而他就是给我带来这一愿景的人。

[BID/CFS]：由此而来的是所谓的塔拉格兰凸化不等式（Talagrand convexified inequality），对吗？

MT：凸化不等式中，要测量n维空间乘积的一点x与乘积子集A的“距离”，你需要一个合适的凸包（convex hull）。更准确地说，对于A的每一点y关联一个长度为n的序列（其中第i项，如果y和x相应的坐标分量相同，则为0，否则为1）。那么随着y在A中变化，x到A的距离是从原点到这组序列的凸包的欧氏距离。这个不等式的主要结论是如果 A 包含至少一半的点，与A距离≥t的点集非常小（像高斯分布的尾巴），而与n无关。

有一种奇迹发生了。它实际上是大数定律的一种抽象版本，会产生很多结果。例如，当你研究组合优化时，你会取一些随机数据并尝试进行构建。例如，你在单位正方形中取n个随机点，然后你查看通过它们的最短路径。现在这是一个随机变量。这个随机变量的波动是多少？事实证明，凸化不等式给出了正确顺序的界限。

[BID/CFS]：取凸包的提示来自肖盖？

MT：是的。现在这真是令人难以置信！当我向肖盖寻求建议时，他向我解释了我们之前讨论过的肖盖原则。然后他说：“采用凸包通常很有用，”这就是我所做的。然后他说：“考虑乘积也很有帮助。”现在我一生都在研究乘积测度。我不知道你是否相信巧合，但有趣的是，我从肖盖那里得到的三个建议与我最成功的研究相关。

[BID/CFS]：你必须给我们讲讲出租车司机的故事！

MT：曾经有一家小型出租车公司的人从我住的地方载我到机场。一个周日，我和他们一起去了机场。当我把信用卡交给出租车司机时，他看着我的名字问道：“哦，你是数学家吗？”对此他解释到，他是公司的老板，他在商学院就了解到了这个不等式。因此，它被认为足够简单，可以在商学院的高级概率课程中进行介绍。好吧，被出租车司机认出来，那是值得珍惜的事情！

[BID/CFS]：您认为这是您最好的结果吗？

MT：这肯定是最受欢迎的，也是大多数人都会学习的。这可能是被提及时间最长的一个。大量例子表明，它在深层刻画了在许多情况下看起来近乎最佳的东西。所以我很高兴我证明了这个结果。

[BID/CFS]：陶哲轩对塔拉格兰凸化不等式进行了评价，他说：“塔拉格兰不等式意味着伯努利变量的凸利普希茨函数的集中度，就好像它们是高斯函数一样。”这是否总结了塔拉格兰不等式的含义？

MT：这个不等式比这更为普遍，但这是最引人注目的结果之一。陶哲轩一定很喜欢这种不等式，因为他在自己的博客上复制了这个证明。

塔拉格兰向奥斯陆阿贝尔纪念碑敬献花圈

自旋玻璃

[BID/CFS]：让我们继续讨论您证明的另一个重大结果，这次与物理学有关。您是如何以及何时熟悉物理学中的自旋玻璃现象，特别是所谓的Parisi帕里西公式的？

MT：在一次会议上，我遇到了欧文·博尔特豪森（Erwin Bolthausen，1945 -），他是一位受人尊敬的概率学家，对应用感兴趣。他在黑板上写下了谢林顿-柯克帕特里克（Sherrington - Kirkpatrick）模型的哈密顿量。谢林顿-柯克帕特里克模型是无序物质的模型。任何两个给定原子之间的相互作用由高斯随机变量给出。所以，你有一堆独立的高斯随机变量，我愚蠢地认为我比其他人更了解这一点，这样我就能够在该模型上取得进展。当我意识到这绝对是一个愚蠢的幻想时，我已经被这个问题所困扰了。

这个项目是一个巨大的挑战，因为它处理的是一个完美定义的数学对象。物理学家正在用一些方法来研究它，好吧，我不会限定它，但你考虑一下这个系统的n个副本，并且你计算依赖于n的一个数量，然后你取n为负数。然后你从这个公式中得出一些结论。

[BID/CFS]：这就是你所说的巫术，对吗？

MT：这就是我所说的巫术。但这并非巧合！这不可能是巧合，一定有更深层次的原因。就像欧拉的公式1+2+3+⋯=−1/12 ，这与黎曼zeta函数有关。就是这样的公式，一定有什么东西有待以后去理解。但用物理学的方法来研究这个数学理论是一个挑战。你怎么能用纯粹的数学手段来做到这一点呢？

这个挑战是众所周知的，我在我一生中陷入随机过程的时期遇到了这个问题。我被困在我想做的一切上。所以，我对自己说：“为什么不呢，尝试一下也没什么损失。”

[BID/CFS]：那是在1995年？

MT：大约是1995年，当时我陷入了困境，因为我无法解决我所说的伯努利猜想，而Witold Bednorz（维托尔德·贝德诺茨，1978 -）和Rafał Latała（拉法尔·拉塔拉，1971 -）在2011年偶然解决了这个猜想。所以我以一种非常谦虚的方式进行……

[BID/CFS]：一如既往！

MT：我总是说，你必须从头开始。如果你不理解简单的事情，你就无法解决困难的事情。听起来很明显。所以我问自己，最小的挑战是什么？在任何模型上证明任何事情。这已经足够低了。然后我从底层开始探索了很多模型，基本上没有做过任何数学计算。你知道，我很努力地工作了很长一段时间，但没有太大的成功希望。

经过大约八年的努力工作，我很幸运。你可以用三行观察结论来总结它，这看起来完全微不足道。你必须找到特定数量的下限。观察结果是，你采用以某种方式耦合的两个相似的量，如果能找到其上限，它将给出你所寻找的下限。这完全改变了问题，因为弗朗西斯科·格拉（Francisco Guerra，1942 -）开发了一些寻找上限的方法，并且这些方法可以通过很小的变化来应用。

因此，我能够证明帕里西的自由能公式。你必须做出这个至关重要的小观察，事实上，我是在没有太多希望的情况下通过不断探索而做出的。

[BID/CFS]：说你没有发明新的数学来证明帕里西公式，对吗？

MT：是的，我没有。数学家无法解决这个问题，而他们无法解决的原因——许多优秀的人都尝试过——是因为他们不够谦虚。他们认为他们将在两周内解决这个问题。不，事实并非如此。他们应该从头开始。

物理学家认为需要新的数学。现在，我明白为什么，因为它是关于量子场论的。量子场论是数学家无法解决的问题，很明显，这需要新的数学。物理学家认为——并非没有道理——还需要“新数学”来证明帕里西公式，但事实并非如此，“旧数学”对此非常有效，我很高兴我做到了。

但我不会说这是一个重要的结果。很高兴移除了数学家身上的那根“刺”，你知道，他们无法重复物理学家的工作。但像谢林顿-柯克帕特里克（Sherrington - Kirkpatrick）模型这样的平均场模型并不重要。重要的是要了解自旋玻璃的真实模型，例如爱德华兹-安德森（Edwards - Anderson）模型，而没有人知道如何处理这些模型，包括物理学家，他们甚至对解是什么无法达成共识。

[BID/CFS]：证明帕里西公式是您获得2019年邵逸夫奖的重要因素，乔治奥·帕里西（Giorgio Parisi，1948 -）获得2021年诺贝尔物理学奖。

MT：帕里西是一个很好的人。在我提出解决方案后不久，他就在亨利·庞加莱研究所做了一次演讲，他说：“现在我们确信这个解决方案是正确的。”当然，每个物理学家都绝对相信帕里西找到了正确的解决方案，但他很有绅士风度地承认了我的贡献，这真是太好了。

重新审视老问题

[BID/CFS]：然后在2005年，可以说你已经受够了Sherrington-Kirkpatrick模型，你想做点别的事情。你又回到了控制测度问题。跟我们聊聊这个。

MT：在人生中，实际上有一个富有成效的阶段，此时你没有什么可失去的，只有收获，因为你可以下注，就像我在物理学中为自旋玻璃所做的赌注一样，它奇迹般地成功了。所以我说，好吧，我为什么不回到我年轻时遇到的一个问题，这个问题被称为控制测度（control measure）问题，而我无法解决这个问题？你可以说这个问题可以追溯到冯·诺依曼（von Neumann，1903 - 1957），或者至少可以追溯到多萝西·马哈拉姆（Dorothy Maharam，1917 - 2014），她引入了马哈拉姆代数（Maharam algebra）的概念。这个问题已经58年了，很多人都攻击过它，但没有成功，包括年轻时的我。

到2005年，针对该难题的核心问题有两个主要的新想法被发明出来（由Jim Roberts 和Ilijas Farah）。我只花了几周的时间就将两者结合起来，为控制测度问题提供了一个漂亮的反例。从技术上讲，我所做的是构造一个马哈拉姆代数，它不是测度代数。这意味着存在复杂的测度代数，并且会做一些你意想不到的事情。也许有一天它们会有用处。

塔拉格兰在挪威科学与文学院签署了协议

[BID/CFS]：但是您也重新审视了随机傅里叶级数？

MT：傅里叶级数是我所痴迷的！当我与米歇尔·勒杜（Michel Ledoux，1958 -）合著《巴拿赫空间中的概率论》一书时，我开始对随机傅里叶级数感兴趣。随机傅里叶级数当然属于该领域。迈克尔·马库斯（Michael Marcus）和吉尔斯·皮西尔 (Gilles Pisier) 取得了巨大进步。我读了他们的论文，发现了另一种证明，从我的角度来看，它更简单。

然而，我觉得我并没有完全理解这个话题，所以我一直在思考它，尽管没有人感兴趣。但这样做是个好主意，因为当你尝试研究一般随机过程时，会同时遇到不同的困难。有些困难是因为你的随机变量很复杂，有些是因为你的指标空间不均匀，所以同样的事情不会到处发生。你必须考虑到这一点。

对于随机傅里叶级数，困难之一就消失了，因为整个空间存在一定的齐次性（homogeneity）。这样你就可以解决一半的困难，并可以专注于另一半。

这很重要，因为我通过研究随机傅里叶级数发现了一些后来在研究一般随机过程中非常富有成效的想法。所以它是一个伟大的发现工具。

马库斯和皮西尔提出了一些我试图消除的条件。我试图从整体上理解这一点，最后我得到的良好回报是我敢于做出正确的猜想。这个猜想本质上是说，当随机傅里叶级数是两种不同特定类型的混合时，部分和几乎肯定完全一致地收敛，收敛性非常明显。所以自然是尽可能简单的。看起来很复杂，但那是因为你不知道怎么看。如果你知道如何看待，就会发现这是两种非常简单的情况的混合物，值得注意的是，它们由于完全不同的原因而聚合。

[BID/CFS]：这一定是一个非常令人兴奋的发现？

MT：是的。当时我已经快70岁了，六个月前我还得过脑溢血！

关于老数学家和写书

[BID/CFS]：现在我们正处于一个阶段，您实际上正在重新审视许多早期的想法，并且实际上正在改进它们。例如，你重写了你的一本书。

MT：这很困难，你知道：当你是一名数学家时，如何让你的职业生涯有一个建设性的结局？我自己的信念是，继续研究相同的主题是非常危险的，因为你取得巨大进步的可能性很小。因此，我实践了我所信仰的哲学，并在58岁左右停止了研究。

我试图寻找乐趣，而乐趣就是学习物理，这是我在大学里没有学过的。我接触到了量子场论——剩下的就很简单了。嗯，你不能说广义相对论很简单，但它是一个纯粹的数学理论。所以，如果你是一名数学家并致力于它，你就会很好地理解它。现在，量子场论不是数学的，也没有地方可以轻松学习它。物理学家所做的工作是一个不同的世界、不同的思维方式、不同的语言以及不同的论证理念。

我在这个主题上所做的工作与我在自旋玻璃上所做的工作一样多。当然，我没有贡献任何东西，但我向自己解释了一些理论，并希望向其他人解释。我花了十年时间这样做，实际上，我现在正在修改这本书，这几乎肯定是我的最后一部作品。这本书的标题是“什么是量子场论？”，副标题是“数学家入门”。我从来没有像在这本书中那样努力地解释过事情。

[BID/CFS]：您写了六本大部头的书，其中一本与一位作者合著。这一定花费了大量的时间吧？

MT：我看过一张高德纳（Donald Knuth，1938 -）的照片，他坐在他写的书前。你知道，那有一整个书架。那么六本书如何呢？仅仅工作几年吧？事实上，除了米歇尔·勒杜的书和后两本之外，从我收集结果和统一符号的意义上来说，它们只是巨篇论文，但在阐述的质量上并没有尽我应有的努力。

[BID/CFS]：您悬赏5000美元，奖励解决你称之为伯努利过程（Bernoulli process）的问题。您能给我们介绍一下吗？

MT：我当然可以。你看，在描述了高斯过程的特征之后，你问自己，你应该尝试理解的下一个最重要的过程是什么？最基本的随机变量是什么？这就是抛硬币随机变量。随机变量取值1或-1的概率是相等的，不可能比这更简单了。现在你采用这些线性组合，你会得到一个新的随机变量。改变线性组合，你会得到一系列随机变量，一个随机过程，你必须理解这个过程的上界。因此，基于纯粹的哲学基础，你知道这是最简单的可能情况，因此它一定是基本的。确实是这样。我看到这是一个根本性的问题，我就非常努力地去解决它。

然而，我无法解决这个问题，为了让大家知道我认为这个问题很重要，我愿意为解决方案支付5000美元。这又是一个快乐的故事：它被两位波兰数学家 Rafał Latała（拉法尔·拉塔拉，1971 -）和Witold Bednorz（维托尔德·贝德诺茨，1978 -）解决了。拉塔拉基本上是在学生时期就开始研究这个问题的。他想了20年才解决这个问题。对于这个问题的解决，5000美元的奖金是当之无愧的。我很高兴付钱给他们。他们实际上是带着这些钱去远足的！

有趣的是，哲学上的考虑是非常简单的，因此是基本的，是绝对正确的。我刚才提到，1990年左右的所有猜想都得到了解答。正如我所猜测的，关键要素是对伯努利过程的理解。当我强调这个结果的重要性时，我不知道它将如何使用，并且确实花了一些时间来弄清楚这一点。但事实证明，哲学在这里是忠实的向导。

[BID/CFS]：您所支付的5000元奖金，是邵逸夫奖奖金的衍生品，对吧？

MT：哦，不，不，那是我自己的钱！那是在2011年，而我是在2019年获得了邵逸夫奖。我没有告诉我的妻子我提供了这笔钱。我不想被责骂！

[BID/CFS]：换做是我们也不会告诉我们的妻子！

MT：用邵逸夫奖的钱，现在还有阿贝尔奖的钱，我将设立一个重要的数学奖项，从2032年开始，或者如果我死了的话，就更早了。这是一个数学奖项，不仅在我工作的领域，而且在我足够理解并非常尊重正在完成的工作的领域。其中包括泛函分析、概率论、计算机科学和组合学的理论基础。我对组合学有特殊的品味，因为我的许多工作都包含一些组合成分。

[BID/CFS]：G. F. Hardy（哈代，1877 - 1947）在他的著作《一个数学家的辩白》中说道：“数学是年轻人的游戏。”他还说：“数学家到了60岁也许仍然有足够的能力，但指望他有独创性的想法是没有用的。”现在我们将其与您在自传中所写的内容进行比较：“先入为主，它阻止我们寻找新的方向，是研究型数学家最大的敌人。这也是年轻研究人员经常取得重大进展的原因之一。年纪大的人知道的太多了。”请作评论！

MT：在我还是学生时共用的办公室里，我的桌子上放着哈代的书。所以我年轻的时候就读过他的书，他的话对我的影响很大。我也深受肖盖教授的影响，有一天他问我：“塔拉格兰，你多大了？”我回答：“先生，我29岁了”，他说：“你必须快点，你只有一年的时间来证明一些重要的事情。”尽管他半开玩笑地说，这确实很令人痛苦。

另一方面，我亲眼目睹了数学家最神奇的经历：你脑子里有了这个想法，你感觉它以前不存在。这是一个新的步骤，它足够奇妙，我可以清楚地识别出这件事发生在我身上。从1985年到1995年，在我生命中神奇的数学时期，这种情况大约每六个月发生一次。然后就变得越来越稀有了。然后它完全停止了。至少我的感觉已经完全停止了。这并不意味着我没有一些小想法。但我得到的信息是，是时候停止了。我的思路之泉停止流淌了。这就是我的感受。

另一方面，我在快70岁的时候提到的关于随机傅里叶级数收敛性的发现似乎与此相矛盾。所以这很复杂。

[BID/CFS]：除了数学之外，您还有什么特别的兴趣吗？

MT：哦，除了数学之外，我在其他方面都很平庸。我的生活完全集中在数学上。

[BID/CFS]：但是你跑过一次马拉松吗？

MT：好吧，这是为了补偿因为我的眼睛而被排除在外的任何运动。我必须探索自己的自然能量，我发现如果你是一个正常人，花六个月的时间训练马拉松，你就可以做到。这是一次非常有趣的经历。我向每个人推荐它作为生活的一部分。

[BID/CFS]：您也去过很多地方，不是吗？

MT：这是家庭利益。我们必须作为一个家庭一起做事。我也是文化动物。我一生都在博物馆中度过，我非常喜欢奥斯陆的博物馆。

克里斯蒂安·斯考、比约恩·伊恩·邓达斯、米歇尔·塔拉格兰

[BID/CFS]：嗯，我谨代表挪威数学会、欧洲数学会和我们俩，感谢您接受这次最有趣的采访。

MT：我要感谢挪威人民以他们的方式庆祝数学。他们提出数学的方式值得赞扬，数学家们对此感到非常荣幸和感激。

[BID/CFS]：很高兴听到。谢谢你！

（全文完）