小乐数学科普：丹尼斯·沙利文对纳维-斯托克斯方程的新解读——译自HLF海德堡桂冠论坛博客

文摘 2024-10-24 11:06 江苏

作者：Benjamin Skuse（HLF海德堡桂冠论坛博客） 2024-10-23

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-10-24

近200年来，纳维-斯托克斯（Navier–Stokes）方程一直主导着我们对水和空气等流体如何流动的理解。如今，它们在科学和社会中无处不在，用于建模天气、洋流和血流，以及设计飞机、车辆和发电站等一系列应用。这些偏微分方程由法国工程师兼物理学家克洛德·路易斯·纳维（Claude-Louis Navier，1785 - 1836）和爱尔兰物理学家兼数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819 - 1903）于1822年至1850年间研究发现，非常准确地描述了粘性流体的运动。

尽管这些方程获得了广泛的成功和使用，但从数学角度来看，这些方程仍然存在一个明显的缺陷。从三维的光滑初始条件来看，尚不清楚它们是否收敛到合理的解、无意义的解、甚或根本不收敛。它们是否始终遵循现实吗？纳维-斯托克斯方程与真实的物理世界之间是否存在差异？

千禧年奖问题

这个令人头疼的问题被称为纳维-斯托克斯存在性和光滑性问题，是一个如此重要的挑战，以至于被认为是克莱数学研究所的千禧年奖问题，即数学中最重要的七个开放问题之一。为其中任何一个问题提供解决方案的数学家将获得100万美元。

然而，自千禧年奖问题提出以来，经过近四分之一个世纪的努力，只有一个问题得到了解决：格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman，1966 -）在2010年解决的庞加莱猜想（尽管他拒绝了现金奖）。对于其他问题，包括纳维-斯托克斯存在性和光滑性问题，业余爱好者和专家定期提出所谓的证明，但到目前为止，每个证明都被证明存在致命错误。结果，进展缓慢。

丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan，1941 -，2022年阿贝尔奖得主）于9月24日星期二在第11届HLF海德堡桂冠论坛上发表题为“三维流体运动和三维保体积映射的长组合”的演讲，希望讨论这个问题，该问题已成为30多年来的一块磁石，反复吸引着他的注意力。

丹尼斯·沙利文 (Dennis Sullivan) 在第11届HLF上发表演讲

图源：HLFF / Kreutzer

“当在我长大的德克萨斯州读本科时，我暑假在石油行业工作，”他在演讲中回忆道。“他们使用这种模式来增加石油产量，而且效果非常好。”但很久以后，沙利文发现这些方程的基础是多么的不稳固，尽管纳维-斯托克斯的存在性和光滑性问题已经根据黎曼映射定理在二维上得到了解决，但三维上的问题仍然没有得到解决：“当我在90年代初听说这个问题时，我感到非常惊讶……因为缺乏知识。”

空间与数字

沙利文的背景与纳维-斯托克斯问题相去甚远。他因“在最广泛意义上对拓扑学，特别是代数、几何和动力学方面的突破性贡献”而获得2022年阿贝尔奖。在非常基础的层面上，他的工作总是将问题简化为两块基本的积木：空间和数量。用他自己在2022年阿贝尔奖简短采访中的话来说：“我总是在任何数学讨论中寻找这些元素，空间方面是什么，以及数字定量方面是什么？”

这种方法在他职业生涯早期研究“割补理论”（surgery theory，也可直译为“外科手术理论”，是拓扑学中的形象化术语，译者注）时就开始发挥作用。“割补理论”应用几何拓扑技术以“受控”方式从另一个有限维流形产生出一个有限维流形。流形（manifold）是一种处处都相同的形状；没有终点、边缘点、交叉点或分支点。

例如，对于由一维字符串组成的形状，字母“o”是流形，但“a”和“z”不是。对于由二维薄片制成的形状，球面（sphere）和环面（torus）是流形，但正方形（square）不是。对于五维及以上的流形，“割补理论”在更高、更抽象的层面上发挥作用。沙利文的输入有助于全面了解五维及更多维度的流形以及它们的行为方式。

后来，他对各种主题做出了重要贡献，尤其是与他的数学家同事和妻子莫伊拉·查斯（Moira Chas，1965 -）一起参加了第11届海德堡桂冠论坛并做出了贡献，他们在1990年代末共同开发了弦拓扑领域。弦拓扑（string topology）可以定义为一个流形的自由闭路空间同调（即从圆到流形的所有映射的空间）上的一组特定运算。这个领域不仅从数学角度来看很有趣，而且还被应用于推进物理学中的拓扑量子场论。

沙利文和妻子查斯在第11届HLF跳舞

图源：HLFF / Kreutzer

一切都从欧拉开始

鉴于他最重要的贡献与流体流动无关，更不用说具体的纳维-斯托克斯方程了，沙利文想要明智地解决这个问题，首先要问：是什么使得解决这个问题如此困难？为什么建模花园软管中水流的方程比理解爱因斯坦的场方程要困难得多？

为了理解为什么纳维-斯托克斯存在性和光滑性问题如此难以解决，沙利文转向了相关的欧拉方程。250多年前，瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）制定了描述理想不可压缩流体流动的方程。“当没有摩擦或扩散项时，它被称为欧拉方程，这是整个问题的一个特例，”沙利文说。“欧拉方程简单地说，涡度（vorticity，一个其性质需要讨论的数学对象）是由流体运动传递的。”

实际上，欧拉方程表示一种涉及涡度的流动，其中矢量场在物理空间中沿着流线传输时旋转。“我喜欢这种结构传输的想法，”沙利文说。他认为，也许纳维-斯托克斯方程可以沿着类似的思路提出，重新表述问题使得更容易解决。

在传统公式中，纳维-斯托克斯方程描述了代表流体的初始速度场（指定3维空间中每个点的速度和流动方向）如何随时间演变。这种描述留下了一种可能性，即一段时间后，速度场可能会突然且非物理地从一个点改变到另一个点，例如产生急剧上升到无限速度的尖峰。这种情况被称为“爆破”（blow-up），此时方程完全崩溃。