【教材介绍】楚平：紧扣知识本质，体现思维方式的一致性——苏教版小学数学教材“图形与几何”领域编修说明

教育 2024-10-12 11:48 江苏

楚平南京东方数学教育科学研究所

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《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标 2022 年版》）确立了核心素养导向的课程目标，同时把图形与几何领域的内容整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题，并对相关内容作了一定的调整，删繁就简、削枝强干，以更好地促进学生核心素养的形成和发展。苏教版小学数学教材的本轮编修，坚持以核心素养为导向，尊重学生的心理特点和认知规律，遵循螺旋上升、逐层递进的原则，对部分内容的结构和编排方式进行了优化，力求突出数学知识本质，体现思维方式的一致性，使学生发展未来社会所需要的关键能力和核心素养。本文仅就图形与几何领域两个主题内容的编修情况作简要说明。

一

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关于“图形的认识与测量”

“图形的认识与测量”主要包括图形的认识与图形的测量两个部分。图形的认识重点是对图形的抽象，主要引导学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系，积累观察、操作和思维活动经验，逐步发展空间观念。图形的测量重点是确定图形的大小，主要引导学生经历度量单位的形成过程，理解长度、面积、体积、角度等几何量的度量方法，探索和理解图形的周长、面积、体积计算方法，感悟度量的本质，逐步形成量感和推理意识。

突出图形的抽象过程

教材特别重视创设学生熟悉的、真实可信的问题情境，引导学生通过观察、操作、比较、分类等活动，建立几何图形的直观概念，探索和理解图形的特征，感悟图形的抽象过程。

（1）借助实物模型认识简单的立体图形和平面图形。例如，认识立体图形时，教材创设了书房的情境，引导学生利用在幼儿园和日常生活中积累的经验，通过给物体分类，直观感知长方体、正方体、圆柱和球的特征；认识平面图形时，通过用积木描画图形的操作，引导学生经历把平面图形从立体图形中“剥离”下来的过程，直观认识长方形、正方形、三角形和圆。

（2）经历图形的抽象过程，认识图形的特征，积累数学活动经验。例如，认识线段时，教材通过观察长方体两个面相交的线抽象出线段，帮助学生感受图形的抽象过程，感悟面在体上、线在面上；认识相交与平行时，教材呈现某街区街道的平面图，引导学生由相关道路间的位置关系抽象出平面内两条直线的位置关系；认识圆时，教材呈现街道十字路口的画面，让学生从图中找出圆，再现人类认识图形的历史进程，帮助学生感悟图形的形成过程，体会图形的应用价值。

（3）采用不同的方式定义概念，促进学生对概念的理解。例如，考虑到角作为构成图形的元素，无论是在平面图形中，还是在立体图形中，其两边都可以看作是线段，所以不再用射线定义角，而是采用描述性定义，即在由实物抽象出角的图形后，指出“上面的图形都是角”；认识三角形时，引导学生通过比较不同三角形的相同点和不同点，并对三角形的关键特征加以提炼，明确“三角形是由三条线段首尾相接所组成的图形”，以更好地揭示概念的数学本质。

加强对图形与图形之间关系的感知

图形的特征反映了一类图形的共同属性，不同的图形有不同的特征，而不同图形之间又有着密切的联系。所以，认识和理解图形与图形之间的关系是图形的认识的重要方面。为此，教材主要从以下几方面来强化图形与图形之间的关系。

（1）重视图形的分类。

分类是建立数学概念的重要方式，也是学生理解图形与图形之间关系的重要路径。通过分类，学生可以深刻理解图形的共性与差异，感受分类标准与结果的关系，体会图形的命名方法。例如，在学生初步认识常见的立体图形与平面图形之后，教材在“图形的初步认识（三）”单元安排例题教学图形的分类，引导学生通过将给定的图形分成两类，初步建立立体图形、平面图形的概念，感受立体图形与平面图形之间的内在关联。又如，在认识三角形时，教材引导学生根据角的特点将三角形分类，并结合三角形中的最大角给各类三角形命名；教材引导学生根据边的特点把三角形分成“三条边都不相等、有两条边相等、三条边都相等”三类，并在此基础上认识等腰三角形和等边三角形。再如，认识平行四边形和梯形时，教材引导学生根据“对边是否平行”将四边形分类，进一步理解平行四边形与梯形，平行四边形与长方形、正方形之间的关系，建立合理的认知结构。

（2）增加复制图形的内容。

图形的全等是图形与图形之间最基本的关系。虽然在小学阶段不教学图形的全等，但在解决问题时常常要以“两个图形的形状、大小完全一样”为前提条件，这容易给学生的学习带来困难。例如，在推导三角形、梯形的面积计算公式时，需要学生用“两个完全一样的三角形（或梯形）”拼平行四边形，而对“两个完全一样的图形”的含义不作说明。为此，教材在“图形的初步认识（二）”单元安排专门的例题教学图形的复制，引导学生通过具体的活动直观感受“两个图形完全一样”的含义，渗透图形的全等。

（3）强化图形的组合与拆分。

图形的组合与拆分是学生认识图形特征及其关系的重要活动。对这部分内容，以往的教材都是以练习的形式呈现的。本次编修加强了这方面的活动，并设置专门的例题进行教学。例如，在“图形的初步认识（一）”单元，教材引导学生通过把 2 个、3 个、4 个同样大的正方体拼成不同的物体，感受立体图形在不同维度的延伸，体会不同拼组方法的联系与区别；在“图形的初步认识（二）”单元，教材引导学生通过把长方形剪成两个完全一样的图形、用剪成的两个完全一样的三角形拼成不同的图形等活动，进一步丰富对长方形、正方形、三角形、平行四边形等平面图形的感知，积累图形变换的经验。又如，在认识圆时，把原来教材中“动手做”的活动改编成一节课，引导学生在欣赏和设计图案的活动中体会从运动的角度分析图案形成过程的方法，感受数学之美。

增加简单的尺规作图内容

《课标2022年版》中规定的尺规作图的内容，无论是把三角形的三条边展开，还是画三角形，都可以看作是“画与已知线段等长的线段”的具体应用。因此，教材在编排时以“画与已知线段等长的线段”为基本活动，对尺规作图的内容进行了整体设计。一方面，合理安排《课标 2022年版》中规定的内容，包括：在认识线段之后，引导学生探索用直尺和圆规作一条线段等于已知线段的方法，感受线段长度与两点间距离的关系；教学“周长的测量”时，引导学生用直尺和圆规把三角形的边展开在一条直线上，理解三角形的周长，感悟长度的可加性；在认识三角形之后，引导学生经历根据给定的三条线段画三角形的过程，加深对三角形的认识，感悟三角形的稳定性；在探索三角形三边关系时，引导学生在选择线段作三角形的过程中，主动发现三角形任意两边之和大于第三边的结论。另一方面，把尺规作图融入探索图形特征的活动之中，以丰富学生的学习方式。例如，在认识等腰三角形和等边三角形时，引导学生根据给定的两条线段画等腰三角形、根据给定的一条线段画等边三角形，并在此过程中理解等腰三角形、等边三角形的特征。此外，教材在编排上，更强调把尺规作图作为学生“做”数学的过程来处理，适当淡化作图步骤，以降低尺规作图的学习难度。

精心设计度量单位的认知线索

度量单位是度量的核心，度量单位的形成都要经历一个从多元到统一、从粗略到精细的过程。所以，统一度量单位是使度量具有一般性意义并能在更大范围内应用和交流的前提。基于此，教材以长度的度量为基础，以“直接比较—间接比较—定量刻画”为活动线索，引导学生经历长度、面积、体积、角度等度量单位的形成过程，感悟统一度量单位的必要性。例如，在认识厘米之前，教材安排专门的课时教学用非标准单位量，引导学生经历从定性描述到定量刻画、从自选单位量到统一用回形针作单位量的过程，感受度量单位的形成过程。又如，教学“面积的测量”时，教材引导学生先直观比较两个长方形书签面积的大小，再选择不同的图形作为面积单位来量，接着通过用两个大小不同的正方形量，产生用统一的面积单位度量的实际需求。同样，体积单位的教学由比较两个长方体体积的大小引入，引导学生经历从直观比较到用统一的体积单位度量的过程。再如，教学“角的度量”时，教材创设了小朋友上学的问题情境，引导学生借助钟面上的大格和小格描述角的大小。在此基础上，先说明“1周角等于360°”，再通过把1周角平均分成360份得到1°角。这样，把几何量的度量作为一个有结构的内容群来安排，能较好地体现不同度量方法的内在一致性，也有利于教师围绕度量的本质设计教学，体现教与学方式的一致性。

此外，为了突出长度单位与面积单位的内在关联，教材把常用的面积单位分成两段教学：先借助边长1cm 的正方形认识 1cm2；在教学长方形和正方形面积计算的方法之后，再教学 dm2、m2及面积单位间的进率。这样设计可以帮助学生利用正方形面积计算方法理解1cm2、1dm2、1m2的具体含义，体验由长度单位导出面积单位的过程，感受长度单位与面积单位之间的关联。

从度量的基本原理出发，组织图形周长、面积、体积计算方法的探究活动

（1）把周长与面积整合在一个单元教学。

在以往的教材中，周长与面积都是分散编排的，这容易导致学生混淆周长与面积的概念。而事实上，平面图形的周长与面积是两个相互依存的概念，即图形的“一周边线”把平面分成了两个部分：图形的内部和图形的外部。图形内部的大小是图形的面积，图形一周边线的长是图形的周长。因此，教材把周长和面积的概念安排在一课时教学，引导学生通过描一描、涂一涂、说一说等活动，直观理解周长与面积的含义，感受周长与面积的联系和区别。

（2）精心设计图形周长、面积、体积计算方法探索的活动线索。

无论是长度的度量，还是面积、体积的度量，在本质上都是看图形所含有的度量单位的个数。为了突出测量的本质，教材以“直接测量—间接测量”为基本线索，引导学生从度量的基本原理出发，在用度量单位量的过程中主动发现影响图形面积、体积大小的关键要素，探寻图形面积、体积的计算方法。例如，对于平面图形面积的教学，教材从长方形入手，引导学生通过用面积单位量、在边长1cm的方格纸上画长方形等活动，主动发现长方形的面积与它的长和宽有关，并归纳出长方形面积计算公式。又如，探索平行四边形面积计算方法时，教材启发学生用数方格的方法求面积，并在遇到困难时主动想到把平行四边形转化成长方形，进而发现平行四边形的面积“与两条边之间的距离有关”。在此基础上，揭示平行四边形底和高的概念，并启发学生根据长方形的面积计算公式，思考平行四边形的面积计算方法。再如，探索三角形、梯形面积计算方法时，教材适当简化了探索过程，直接要求学生联系已有经验探索把未知转化为已知的方法。这样设计能较好地体现思维方式的一致性，促使学生在自主掌握图形面积、体积计算方法的同时，感受数学知识的整体性与连贯性，积累观察、操作与思维活动经验，形成几何直观和推理意识。

需要特别指出的是，由于平面图形的高是决定图形面积的重要变量，教材不再结合图形的认识教学高的概念，而是将其穿插在平面图形面积计算方法的探究过程之中。这样设计能更好地揭示概念形成的背景与过程，激发学生的认知需求。

关注学生推理意识的发展

推理意识是学生核心素养的重要方面，教材十分重视学生推理意识的形成和发展。一方面，结合图形的周长、面积、体积的测量，引导学生在将未知转化为已知的过程中感受有理有据地进行思考与表达的方法，积累从特殊到一般的思维经验。例如，探索长方形面积计算方法时，引导学生通过在方格纸上画出不同的长方形，并根据画出的长方形长、宽和面积之间的关系，归纳出长方形面积计算公式。在此基础上，引导学生根据长方形与正方形之间的关系，通过类比得到正方形面积计算公式。又如，探索圆柱体积计算方法时，引导学生由圆可以转化成长方形来计算面积，联想到圆柱也可以转化成长方体来计算体积。另一方面，引导学生经历从一些基本事实和概念、命题出发，按照规则推出其他命题或结论的过程，逐步养成讲道理、有条理的思维品质。例如，在用尺规作与已知线段等长的线段时，引导学生根据“等量的等量相等”这一基本事实，说明 “画出的线段长度为什么与已知线段相等”；探索三角形三边关系时，引导学生根据“两点间所有连线中直线段最短”这一基本事实，论证 “三角形两边之和大于第三边”的结论。

重视长度、面积、体积的估计和估测

教材特别重视对学生估计和估测能力的培养。一方面，通过设置用估计或估测解决问题的练习，帮助学生感受估计和估测的方法，培养分析和解决问题的能力。例如，认识厘米和米时，教材引导学生结合图示，根据给定的游泳池的宽估计游泳池的长。另一方面，设置例题教学面积和体积的估测。例如，结合长方形、正方形面积的教学，教材引导学生估测教室地面的面积，感受估测的不同方法；结合多边形面积的教学，引导学生估测不规则图形的面积，并借助真值的上界和下界，体会控制和缩小误差的方法；结合圆柱、圆锥体积的教学，引导学生通过实验测量不规则物体的体积，感受将未知转化为已知的过程。

注重图形的认识与测量的有机融合

图形的认识与测量有着密切的联系，学生对图形的认识从直观感知水平向度量认知水平过渡，标志性的活动就是从度量的角度刻画图形边和角的特征及关系。因此，教材十分注重将图形的认识与图形的测量有机融合，引导学生通过观察、操作、实验和比较，认识和理解图形的特征、性质。例如，认识长方形和正方形时，教材引导学生通过量一量、比一比等活动，发现长方形对边平行且相等，四个角都是直角等特征；认识平行时，教材引导学生通过在两条相互平行的直线之间画垂直线段，发现平行线之间的距离处处相等、平面内垂直于同一直线的两条直线相互平行等性质；探索长方体体积时，教材引导学生根据给定的长方体的长、宽、高，想象长方体的形状和大小。所有这些都有利于学生深度理解图形的特征，感悟图形的认识与测量的联系，积累操作和思维活动经验，发展空间观念、几何直观和推理意识。

二

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MAJOR HEAT

关于“图形的位置与运动”

图形的位置与运动包括确定点的位置，认识图形的平移、旋转、轴对称。图形位置的教学，主要引导学生结合实际情境判断物体的位置，探索用数对表示平面上点的位置，逐步增强空间观念和应用意识。图形运动的教学，主要引导学生经历对现实生活中图形运动的抽象过程，认识平移、旋转、轴对称的特征，体会运动前后图形的变与不变，感受数学美，逐步发展空间观念和几何直观。

把“确定位置”的内容整合在一个单元教学

图形的位置包括用数对确定位置、用方向和距离确定位置这两个方面的内容。考虑到两者在学科知识本质、思维方式等方面都具有较强的一致性，本次编修把“用数对确定位置” 和“用方向和距离确定位置”这两部分内容整合成一个单元，帮助学生掌握确定平面上点的位置的方法，深刻感受不同方法背后所蕴含的相同的学科本质与思想方法。

优化方格图的抽象过程

对于用数对确定位置的内容，原来的教材是分两课时编排的，由于例 1中仅把教室座位图抽象成圆圈图，而例 2 又没能沿续例 1 的问题情境，因此在一定程度上割裂了方格图的抽象过程。本次编修把原来的两课时内容整合成一课时进行教学，完整呈现从教室座位图到圆圈图再到方格图的抽象过程，帮助学生更深刻地感受数对与平面上点的对应关系，形成空间观念。

设置单元教学图形的放大和缩小

图形的放大和缩小是“图形的位置与运动” 主题的重要内容，其在本质上是图形的相似。通过按给定的比例将图形放大和缩小，一方面可以帮助学生加深对比、比例的理解，感受比例尺的意义与价值，另一方面可以为学生将来学习图形的相似积累一些学习基础和经验。原来的教材把图形的放大和缩小、比例尺安排在“比例”单元，虽然强化了不同主题内容的融合，但由于在传统观念中通常把比例尺归属于比例的应用，因此教师在教学中往往更强调数量关系的分析与应用，一定程度上削弱了比例尺的本质属性。为此，教材设置专门的单元分别教学图形的放大和缩小、比例尺的意义与应用，以凸显图形的放大和缩小的数学本质，更好地体现苏教版教材“育学育教” 的特点。

强调同一领域内不同主题内容的融合

教材特别强调同一领域内不同主题内容的融合，体现学科知识体系的整体性、完备性。例如，教学用数对确定位置时，引导学生根据方格图中长方形四个顶点的坐标，说明长方形对边平行且相等的特征。又如，教学图形的平移时，引导学生根据方格图中的长方形，思考长方形的一条边通过怎样的平移运动就能和它的对边完全重合。再如，教学长方体和圆柱的体积时，引导学生借助长方形、圆分别沿高平移形成长方体、圆柱的过程，感受高的变化所引起的图形体积的变化。这样从“位置与运动”的角度刻画图形的特征及其关系，不但可以加深学生对直柱体特征及其体积计算方法的理解，而且能有效促进学生空间观念、推理意识的形成和发展。

（内容选自《小学数学教师》2024年第7-8期）

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