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智趣教学:为空间观念的培养赋能
——以“角的初步认识”教学为例
江苏第二师范学院教育科学学院 吴汝萍
【摘 要】学生空间观念的培养，重点要关注空间知觉、空间表象和空间想象这三种认知水平，它们之间是一种递进关系。文章以智趣教学理念下“角的初步认识”教学为例，详解在“图形的认识”教学过程中培养学生空间观念的具体做法。
空间观念是个体对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识，是人脑对现实世界中空间形式的一种主观反映，其目的是表示、解释、分析与探究空间与图形的形状、大小与关系，从而解决现实问题或数学问题。根据皮亚杰的理论，小学阶段是培养空间观念的关键期。小学生空间观念初步形成与发展的具体行为表现包括以下三个方面：一是能根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，形成初步的表象，通过表象感悟物体的空间形式；二是能想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；三是能感知并描述图形的运动和变化规律。
学生空间观念的培养，重点要关注空间知觉、空间表象和空间想象这三种认知水平，它们之间是-种递进关系，关于物体或图形的形状、大小及相互位置关系的空间表象，是在大是空间知觉的基础上形成的，由此则可以形成对物体或图形相关数学性质的识别、理解、判断和重现的空间想象，也就是说，空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。下面以智趣教学理念下“角的初步认识”教学为例，说一说在“图形的认识”教学过程中培养学生空间观念的具体做法。
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智趣观察,感性地获得相应的空间知觉
空间知觉是指关于空间和图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉.小学生形成和发展空间观念,依赖于外界事物,尤其是低年级学生,其空间观念大多停留于生活中的直观事物或直接经验要有效培养学生的空间观念,首先要重视学生的视觉直观,让他们多观察,从而感性地获得相应的空间知觉。
回忆认识过的平面图形
提问：我们在一年级认识过哪些平面图形？
出示用三根小棒围成的三角形
追问：你能用数学的眼光观察一下，说说它为什么叫三角形吗？
初步获得角的空间知觉
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智趣指认,知性地获得静态的空间表象
空间表象是在空间知觉的基础上形成的，关于空间和图形的形状、大小及相互位置关系的印象。形成正确的空间表象是发展空间观念的基础。学生对“三角形”“五角星”上的角虽然非常熟悉，但往往误认为“尖尖的地方”就是角。帮助学生正确建立角的空间表象，是教学的重点，也是教学的难点。
纠正错误认知，帮助学生获得正确的空间表象
（1）学生指角。
屏幕上留着三角形去掉一根小棒后留下的角的图形，请学生指出这个角，学生都是指角的顶点处。
（2）留点去边。
学生都认为“尖尖的地方”就是角，教师没有否认，而是说：“既然大家都认为这里就是角，和两条直直的边线没有关系，那就把两条边也去掉吧。”
屏幕上只剩一个点，此时学生受到的视觉冲击特别大，恍然大悟：这是点，不是角。
（3）形成角的静态空间表象。
还原角的两条边，让学生认识到：指角时要从这一点开始，依次指出两条直直的边线。
给角的各部分命名，认识“夹角”所在位置
（1）引导学生观察点的位置：它在角的最前面，是角的--顶点；两条直直的边线，就是角的一边；角是由1个顶点和2条直直的边组成的。
（2）让学生认识两条边线夹着的部分（用弧线标注位置），就是夹角，也就是角所在的位置。指角的时候，可直接用弧线表示这个“夹角”的位置。
指认物体表面上的角
引导学生在不同物体表面上指认各种各样的角。
画出一个角
引导学生在纸上画出一个角，并标注出角的顶点、边及“夹角”部位。
图形的认识主要是对图形的抽象。教师需有意识地引导学生通过观察、操作，经历从实际物体上逐步抽象出几何图形的过程，感悟点、线、面体的关系，认识图形的特征，形成正确的图形空间表象。
在上述认识角的过程中，当学生满心欢喜地指认“尖尖的地方”就是角时，教师没有立即否认，而是让屏幕上只留下这个点，让学生自己悟出：角不仅包含这一点，还包含两条直直的边线，由此使学生完善对角的认知。在此基础上，再引导学生认识角的各部分名称、指认物体表面上的角、在纸上画角、标注角也就水到渠成了。在此过程中，学生通过丰富的实例，经过概括和抽象，认识了角的构成，知性地形成了正确的、稳固的关于角的静态空间表象。
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智趣比较，理性地获得动态的空间表象
动态的空间表象，不仅能再现，还能变换，是引发学生空间想象的基础。按照皮亚杰的研究，动态表象是学生数理一逻辑经验生成的源泉。静态表象只能产生物理经验，而空间观念不仅仅是一种印象，更是一种思考、一种逻辑，是一种内在的把握，所以说动态空间表象才是空间观念形成的源泉，所以，要培养学生的空间观念，就需要帮助他们形成动态的空间表象，提升空间表象水平。
通过观察比较角的大小
（1）比较两把剪刀口形成的角的大小。
观察：这两把剪刀，哪个张口大？哪个张口小？
讨论：剪刀张口形成的角的大小和什么有关？
让学生认识到角的大小与两边的张口有关。张口大，形成的角就大，张口小，形成的角就小。
（2）比较钟面上角的大小。
通过比较3时、2时和5时钟面上时针和分针形成的角，使学生认识到：5 时钟面上的角最大，因为它的张口对着5大格；2时钟面上的角最小，因为它的张口只对着2大格。
（3）用活动角玩具摆出大小不同的角。
先让学生用活动角摆出大小不同的角；接着通过游戏形式，让学生摆出比教师摆出的角更大或更小的角。在比的过程中，使学生进一步认识到：张口大，角就大；张口小，角就小。
通过重叠比较角的大小
要求：你能摆出一个角，正好与黑板上画的这个角一样大吗？
学生操作后引导思考：摆出的角是不是与黑板上的角一样大？可以怎样进行验证？
在思考过程中，学生得出用重叠法比较角的大小的方法：顶点对顶点，一边贴一边，再看另一边。另一边在外，这个角就大；另一边在内，这个角就小；另一边重合，两个角一样大。
想办法将小角变大
出示大小不同的两个角，并将它们加以重叠，
（1）思考：如果要让小角变大，变得比大的角还要大，有什么方法？
基于前面的认知，学生认识到只要把较小角的一条边拉到较大角的外边去就可以了，
（2）讨论：如果将小角的边延长，能不能让小角变大？
（3）思辨：想象一下，如果把小角的边延长，延长，再延长，一直延长到天边去，小角会不会变得比大角大呢？你能发现什么？
学生自主悟出：角的大小与两边的长短无关，只与两边的张口大小有关。
“角的大小与两边的长短无关”是学生认知的难点，这是因为学生容易关注图形的外显特征。在学生的生活经验里，物体或图形所占的位置大，它就大，角的边延长了，角所占的位置变大了，所以角自然也变大了。
为了突破这一理解难点，上述教学分三个层次引领学生进行智趣探究。首先，比较张口差异很大的两个角，通过观察可以直接得出结论。学生从中认识到角的大小与两边的张口有关：张口大，角就大；张口小，角就小。接着，比较张口接近的两个角的大小，让学生自主获得比较的方法：顶点对顶点，一边贴-边，再看另一边，最后让学生想办法将较小的角变大，此这个过程中，使学生逐步认识到：要将角变大就要将角的张口变大，延长角的边是没有用的。经过上面几个层次的智趣教学，能有效突破学生理解上的难点，最终使学生自主感悟出：角的大小与边的长短无关。
在上述教学过程中，学生通过智趣对比、理性分析认识了角的大小的本质，,有效完善、丰富了角的空间表象。此时，学生头脑中关于角的空间表象，不再是静止的，而是动态的——角的张口可大可小，角的两边可长可短，这就使他们理性地形成了动态的空间表象,提升了对角的本质属性的认识。
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智趣拓展,智性地进行多元的空间想象
空间想象是指根据相关信息，在头脑中进行分析、联想、抽象、概括，并形成相应的形状、大小、关系和结构等的心理活动。丰富的空间表象是空间想象的基础，空间想象包括空间直观想象、空间过程想象及空间表象重构。不管是何种空间想象，都离不开思维的参与。
空间直观想象：根据角的形状想象实际物体
（1）猜猜我是谁。
想象一下：下面的角，哪个是数学书封面上的，哪个是红领巾上的……
学生依次想象，得出3号角是数学书上的、2号角是红领巾上的，4号角是滑梯上的，1号角是小木屋上的，5号角是靠背椅上的。教师-一出示实物背景图，激发学生空间想象的兴趣，增强学生自主学习的成就感。
（2）想象两只小鸟在做什么
出示如下两个大小不同的角，比较大小后，让学生想象：如果这两个角都是小鸟的嘴巴，想象一下这两只小鸟可能在做什么？
让学生展开丰富的想象，只要想象合理都应给予充分肯定。当有学生想象是鸟妈妈在给鸟宝宝食时，教师追问：“哪个嘴巴是鸟妈妈的？哪个嘴巴是鸟宝宝的？”由此学生进一步想象出：较小的角是鸟妈妈的嘴巴，因为嘴里咬着虫子，嘴巴张口小。鸟宝宝看到妈妈衔着虫子，激动得张大了嘴巴让妈妈投喂。在此基础上，教师出示鸟妈妈给宝宝喂食的背景图，大家觉得非常有爱，情感得到升华。
上述空间直观想象，是让学生利用角的空间表象想象相关的几何对象，将抽象的几何对象直观化。
空间过程想象：想象将一个多边形去掉一个角的样子
（1）想象一下，把下面这张三角形纸片，往后面折去一个角，会剩下几个角？
先让学生想象出结果，再通过动手操作验证学生发现三角形折去1个角后，剩下的部分可能是4个角，也可能是3个角，但一定不是2个角。
（2）想象一下，如果将一个正方形，折去一个角，会剩下几个角？
空间过程想象中不仅包含着图形的变化，更蕴含着一种数学思考，有一定的难度，能想象出正确结果的学生，就能进一步增强研究数学的欲望；想象不出正确结果的学生，经过操作，及时纠正想象偏差，也能豁然开朗，增强自信，学生如此想象、探作，兴趣盎然，空间想象能力也在此过程中逐步得到提升。
空间表象重构：创造想象古体数字
（1）想象一下，在我们认识的数字中有角吗？学生经过想象，认为有的数字上有角，有的数字上没有角。
（2）出示1、2、3、4、5古体数字：
学生惊喜地数出上面分别有1、2、3、4、5个角后，大胆猜测：一个数字是几，上面就有几个角（这里所说的角是指锐角或直角）
（3）想象古体数字。
想象：有6个角的“6”是什么样子的？有7个角的“7”呢？……
学生一一想象古体数字后，教师逐一出示如下的古体数字：
学生发现，前面的猜测丝毫不差：数字是几上面就有几个角，而0上没有角。大家见识了“数”与“形”的完美结合，不由自主地赞叹：数学真的太神奇了!
空间观念的核心是空间想象，目的是为了形成空间思维，空间想象能力也是人们认知世界的基本能力。所以，在“图形与几何”教学中，要多创设好的情境，多准备有用的素材，多设计有效的活动，让学生充分进行丰富的智性空间想象，尤其多进行空间直观想象、空间过程想象及空间表象重构，更多地拥有空间想象的经历、经验和方法。这样就能不断提升学生的空间想象能力，让空间观念的培养落在实处。
总之，培养和发展空间观念是一个长期的过程，需要教师在每一次的“图形与几何”教学中，不断地在空间知觉、空间表象、空间想象这三种认知水平方面下功夫，并努力让学习内容与学习过程彰显智趣。为空间观念的培养赋能，就能让小学阶段空间观念的培养落地生根、有章可循、有法可依。
（内容选自《小学数学教与学》2024年第8期 ）
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