因为学数学出身的背景，每年数学高考都是我最关心的话题。
今年看网络上数学普遍反映难度适中，主要的拉分题就是最后两道题。
不过在家长群有人发出最后一道题时，立刻有家长说前两问不是小学奥数的知识点嘛。
没错，其实最后一道题的难点在最后一问，但最后一问基于的知识点居然是小学知识，这是一个很有趣的现象。
今天我就给大家讲讲刚刚结束的高考数学最后一道题，分析一下，通过这道大题的命题思路，透射出来的未来以数学高考为代表的高考的变化趋势，以及从这道大题本身出发，在学习数学这件事上，到底我们的孩子应该怎么去具备一些思考的能力。
下面是题目和解题思路，看不懂的直接略过就好。
家有高中生，或者自己有兴趣的家长，可以点"阅读原文"看解题过程。
现在高考最后一道大题，题干经常特别长，有一定阅读理解难度，导致很多同学被吓到干脆直接放弃。
其实，以我这几年做高考数学题的经验，最后一道大题的前两题，只要语文过关，把题干读懂，就是送分题。
就像今年这道题的前两问，所考察的数学知识点难度甚至都没有超过小学三年级的范围。
包括今年的物理，据说一道考察热学知识点的题，题干差不多有半页纸。
如何快速阅读提炼关键信息，准确get到题目要考察的知识点，无形中已经筛掉了一部分阅读能力弱的孩子。
培养阅读能力，确实是所有学科基础中的基础。
再看近年数学高考题的一个趋势，包括模拟题，一定会在题面中重新给一个定义。
出题者背后的逻辑，就是要考察孩子是否真正具备学习数学的能力，即在一个新的定义基础上，按照数学逻辑推证新知识的能力，而不是在既有定义的基础上，绕很多圈把你绕晕。
也就是说，现在考察的是一个在新地基重新盖一栋房子的能力，而不是在原有的房子里反复地粉刷包装的能力。
显然，前者的能力更具备数学的原创性。
要想具备这种能力，它的底层是可以把一个抽象的数学概念迅速地具象化。
这是我看到的未来数学考试，特别是大题出题的方向。
令人遗憾的是，我们现行的教育训练模板培养出来的孩子，大部分看到新的定义时都会懵圈。
记得我的恩师———中山大学数学学院前院长邓东皋老师曾经告诉我们，"定义"才是驱动数学进步的里程碑。
数学中的定义，跟我们在其他学科里谈的定义很不一样。
一个受过数学训练或者有数学思维的人谈任何问题，只要给他一个名词，他首先会问清楚定义是什么。
为什么？因为他认为所有后面围绕这个名称展开的谈论，基于的逻辑推理都应该是在严密定义的基础上的。只有对基础定义有共识，才能继续推证。这种推证的思想就叫做公理化思想。
真正建构这个世界的，不论是理科还是文科的知识体系，都应该是要由公理化思想来决定的。
非公理化思想所得出的结论往往不牢靠。因为如果一个定义你有你的理解，我有我理解，那就没法继续讨论问题了。
所以建构一个新的定义，就相当于新开辟了一个学科场景，然后进行的推证是在这种学科基础上进行简单的建设，当然这个建设的过程是要用严密的逻辑来建设的。
这最后一道题，考察的其实就是这种能力。
比如今年最后这道题，前两问只要读懂了题，不需要刷题，这是小学知识，都能搞定。第三问，用了一点点组合数学知识，说非常难也不算非常难，就是一般简单的取数中间的一些不同，如果孩子在学习排列组合时经常用这种构造新的数的知识，其实难度也并不是那么高。
至少我们看一下得分点，第一问第二问得满分不难，第三问把 P1=3/15写出来，再把归纳假设写出来，至少可以拿到40%。如果这道题17分，前两问加起来应该能占9分吧，第三问占8分，如果能得40%，至少可以有3分。就算没法推出最后正确结果扣掉5分，依然是很优秀的成绩。
当然，最后这5分的分差，就体现了数学能力的差距，是真的需要根据前两问简单的推证方法，层层递进——第三问要用到的方法，在求解第一问、第二问的时候都给你拆解开了，你要会用在前面简单的解题部分所积累的方法再往上套。这也是数学的能力。
数学有两种建构新知识的方法，其中之一就是在定义的基础上，用原来已经证明的结论，或者用原来证明某个结论的方法（这些都是数学中扩展新知识的逻辑推理的技巧），来建构新知识，比如说用归纳的思想就可以建构出一个新的体系。
今年这道题绝对就是考察这种建构新体系能力的题目。这显然保持了过去几年高考数学命题风格的导向，就是不断地让孩子学会用数学的底层逻辑去建构新知识。
我觉得这道题出得非常好，但也有人质疑这道数学题，说没有考大学知识点，属于降低难度，因为广州前两次模拟题都是从大学知识点中揪出一个解释，给一个大学里面可能用到的定义，再进行建构。
这就太教条理解高考改革的内涵了。
高考考到一些超前的知识点，并不是单纯为了让孩子们向前学而向前学，而是考察孩子的数学能力是不是能适应到下一阶段的数学学习。
而且今年这道题，具体考察的是属于组合数学中的一部分知识。组合数学本身就是个独立的体系，很难说是属于大学知识还是中学知识。它是现在数学中一个比较重要、比较热门的知识体系，在计算机的算法应用中非常有用，但又很难被归为是分析、代数还是几何。
所以某种程度上，这道题还是考察在组合数学这个学科分支下建立一个新定义，让大家在这个学科中进行一些探讨。这跟我们所说的现在高考的命题风格是基本一致的。
看到了趋势，那我们的孩子该怎么去备考呢？或者说孩子应该在学习中如何更讲究方法？
先说我的结论，以现在高考数学的命题趋势，最后一道大题靠刷题是很难刷到的，因为它需要的是通过新的定义去探索知识的能力。
训练这种解题能力也有方法，但不是靠刷题，特别不是去刷难的、繁杂的题目，而是要做一些经典的题目，从一些基础知识去进行推证。
对于学有余力、对数学有兴趣的孩子，不仅要鼓励向前学，而且在高中到大学衔接的过程中，要不断地去看一些新知识是怎么构造的。
对于学习能力没那么强的孩子，集中精力复习高中知识也可以，但需要把更多关注度放在加深理解数学课本每一节的前三页，是怎么去把一个定理在定义的基础上证出来的。
吃透底层逻辑，这绝对比刷题要高效好用。通过这种训练选拔出来的孩子恰恰也是未来我们要选拔的数学人才。
历史文章：
2.这场代表高考命题新方向的考试，数学题太难把考生“气笑”，高考风向又要变了？
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本文编辑：谭琴
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