图像变换在三角函数中的应用

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在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如y=Asin(ωx+ψ)的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

（二）图像变换中要注意的几点：

1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？

在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：y=f(3x+1)：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

     y=f(-x)+2 ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换

2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：

（1）加“常数” ,平移变换

（2）添“系数”,放缩变换

（3）加“绝对值”,翻折变换

3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化

（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。

（2）对于x前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。

思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考

常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦

本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目

三角形三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾'顺次连接所组成的封闭图形。1)普通三角形又称不等边三角形，三条(个)边(角)都不相等。不等边三角形的内心、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点。

2)按角分：有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等:1.锐角三角形:三角形的三个内角都小于90度/三角形的三个内角中最大角小于90度。2.直角三角形:三角形的三个内角中一个角等于90度/三角形的三个内角中最大角等于90度。可记作Rt△。3.钝角三角形:三角形的三个内角中有-一个角大于90度/三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

3)按边分:等腰三角指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。等腰三角形的两底角的平分线相等。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。等腰三角形是轴对称图形，(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰三角形的腰与它的高的关系，直接的关系是:腰大于高。间接的关系是:腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。4)等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°。5)等腰直角三角形腰相等且顶角为直角的三角形。

6)中线连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。7)高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。8)角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。9)中位线三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。

10)相似三角形对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

1.相似三角形对应边成比例，对应角相等。

2.相似三角形对应边的比叫做相似比。3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形对应线段(角平分线、中线、高)之比等于相似比。

判定方法1.如果一个三角形的三条边与另一一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。2.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

11)全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。全等三角形的对应角相等，对应边也相等。翻折，平移，旋转，多种变换叠加后仍全等。判定方法1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边/SSS"。2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边/SAS"。3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“ 角边角/ASA"。4.两个三角形对应的两角及其-角的对边相等，两个三角形全等，简称"角角边/AAS"。5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边/HL”。12）全等三角形两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。全等三角形的对应角相等，对应边也相等。翻折，平移，旋转，多种变换叠加后仍全等。判定方法1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称"边边边/SSS"。

2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边/SAS"。3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称"角边角/ASA"。4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称"角角边/AAS"。5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边/HL"。

12)重心指三角形的三条中线的交点。1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是项点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意-点，则3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=38.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点。为Pi,则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB+BCZ+CAR)为半 径的圆周上。

9.G为三角形ABC的重心，P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2.

13)垂心  

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心:或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心:

3.垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH:HD=BH:HE=CH:HF。

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一一垂心组)。

6.△ABC，△ABH, OBCH,△ACH的外接 圆是等圆。7.设O,H分别为OABC的外心和垂心，则2BAO=zHAC， cABH=zOBC， ∠BCO=cHCA。

8.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。9.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心:锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现)。10.西姆松定理(西姆松线) :从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。11.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC. CA, AB上的射影，H1, H2, H3分别为OAEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌OH1H2H3。12.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

13.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。14.等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。

来源：每日一题学好高中数学

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