首页时事民生政务教育文化科技财富体娱健康情感

旅行百科职场楼市企业乐活学术汽车时尚创业美食幽默美体文摘

立体几何垂直证明的六大绝招，真的是秒懂！！！

教育 2024-11-18 19:23 江苏

👇👇👇免费进学习资料群！

以微课堂学习群

奥数国家级教练与四名特级

教师联手执教。

来源：高中数学王晖，作者：王晖

六大绝招

类型一

利用已知垂直关系证垂直

例题：已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC

证明：

∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC

又∠ACB=90° ∴AC⊥BC

又AC，SA⊆面SAC ∴BC⊥面SAC

∴BC⊥AD

又AD⊥SC

且BC，SC⊆面SBC

∴AD⊥面SBC

变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC

类型二

利用等腰三角形中线证垂直

例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB

证明：

取AB的中点M，连接PM，CM

∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM

∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM

∴AB⊥面PCM

∴AB⊥PC

变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD

类型三

利用勾股定理逆定理证垂直

例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD

证明：

∵PA=4，AB=3，PD=5

∴PA²+AB²=PD²，

∴三角形PAD是直角三角形，

∴PA⊥AD

又PA⊥CD，

∴PA⊥面ABCD

变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD

类型四

利用三角形全等证垂直

例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC

证明：

取AB的中点M，连接CM，

∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA

又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°

∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC

∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，

∴CM⊥AB

又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB

∴AB⊥面PMC

∴AB⊥PC

变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF

类型五

利用平行关系证明垂直

例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD

证明：

分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA

∵MN为△PCD的中位线，

∴MN∥CD且MN=1/2CD

又∵E是AB的中点，

∴AE∥CD且AE=1/2CD

∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，

且∠PDA=45°，∴△PAD是等腰直角三角形

又N是PD中点，∴AN⊥PD

∵四边ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，又PA⊥CD，

∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，

又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD

又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD

∵EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD

变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2，证明CD⊥面A₁OC.

类型六

利用向量数量积证明垂直

例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。

证明：

取BC得中点O，连结PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：

变式：如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，D是CC₁的中点，求证：AB₁⊥面A₁BD

常见的平面图形垂直模型

1. 等腰三角形的中线垂直底边

在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则有：AD⊥BC

2. 勾股定理的逆定理得到垂直

在三角形中，如果AB²+BC²=AC²，则有：AB⊥BC

3. 菱形的对角线互相垂直

已知四边形ABCD为菱形，两条对角线AC与BD相交与点O，则有：AC⊥BD

4. 矩形内部线段存在的垂直关系

四边形ABCD为矩形，如果AD:DE=AB:AD，则有：BD⊥AE

5. 直角梯形内部线段存在的垂直关系

a. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD:DC=AB:AD，则有：BD⊥AC

b. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD=DC=m，AB=2m，则

有：AC⊥BC

6. 等腰梯形内部线段存在的垂直关系

四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥DC，AD=BC，CE为等腰梯形ABCD的高，若CE=1/2(AB+CD)，则有：AC⊥BD

7. 圆的直径所对的圆周角为90°

AB为圆O的直径，C为圆上任意一点，则有：AC⊥BC

《以微课堂高中版》，江苏省数学名师、数学奥林匹克国家一级教练员，联手四名特级教师共同打造。

《以微课堂》旗下公众号矩阵

长按二维码识别关注

小学版 初中版 高中版

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU1NjgyODI2OA==&mid=2247592507&idx=1&sn=03de383983327d36eadb7eee7db55f21

以微课堂高中版

奥数国家级教练与四位高中特级教师联手打造，高中精品微课堂。

最新文章

立体几何添加辅助线的常用技巧总结，考试必备！

一举拿下抽象函数

排列与组合问题

高中数学比较大小的4种常见题型（例题+练习）

高中函数的奇偶性、对称性和周期性

收藏：高中数学思维导图，超细致！

高中数学压轴题：求最值常用10种方法典例精讲

不等式解题方法全归纳

数形结合思想必考题型全梳理，附例题解析

圆锥曲线：最值问题的题型与策略

立体几何垂直证明的六大绝招，真的是秒懂！！！

100道高中函数压轴题, 每题附简析

高中数学的70个易错点，剖析与反思精要

高中数学：最难的三角函数题解析

立体几何：8类“动态”问题策略探究

等比数列的概念及其通项公式

高中函数的15个专题

运用"伸缩变换"，解决椭圆的七大问题

运用空间向量解立体几何

解析几何：求面积问题的五种处理手段

二项式定理的11种题型与解法

高中数学：求解复合函数定义域

高中数学必修1：函数值域11种求法

数列：递推式求数列通项公式的常见类型及解法

椭圆题：运用韦达定理时非对称量的处理

圆锥曲线取值范围和最值专题的六大模型，最全汇总

数列放缩的"10个技巧"和"4种方法"

高中数学：三角函数这块骨头最难啃！

高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧

圆锥曲线：7大题型汇总，常用公式推论，解题技巧，

高中数学：“三角函数”的核心考点，解题技巧

高考数学：函数解析式的七种求法

解三角形最值问题的四大模型，第四种太赞了！

立体几何的知识要点

【高一数学】上学期期中试卷合集(附解析)

排列组合问题解题法（二十种）

高中数学经典创新题60道，每道题都很经典！

求递推数列通项公式的方法

高中数学：最难的三角函数题解析

空间几何体：线面平行关系的证明策略

向量专题复习：各类题型解析

解三角形之余弦定理证明

高中数学：各模块知识点汇编，数学基础欠缺的必看！

立体几何证明题，明明自己会做，却总是被扣分？原因在哪里？

图像变换在三角函数中的应用

高中数学：函数性质知识点汇编

高中数学：必修1~必修5的常考难点全整理

函数极值点偏移问题的6大解法，太赞了

基本不等式求最值八法

一文搞定函数的定义域、解析式、值域问题

分类

原创标签

时事社会财经军事教育体育科技汽车科学房产搞笑综艺明星音乐动漫游戏时尚健康旅游美食生活摄影宠物职场育儿情感小说曲艺文化历史三农文学娱乐电影视频图片新闻宗教电视剧纪录片广告创意壁纸头像心灵鸡汤星座命理教育培训艺术文化金融财经健康医疗美妆时尚餐饮美食母婴育儿社会新闻工业农业时事政治星座占卜幽默笑话独立短篇连载作品文化历史科技互联网

发布位置

广东北京山东江苏河南浙江山西福建河北上海四川陕西湖南安徽湖北内蒙古江西云南广西甘肃辽宁黑龙江贵州新疆重庆吉林天津海南青海宁夏西藏香港澳门台湾美国加拿大澳大利亚日本新加坡英国西班牙新西兰韩国泰国法国德国意大利缅甸菲律宾马来西亚越南荷兰柬埔寨俄罗斯巴西智利卢森堡芬兰瑞典比利时瑞士土耳其斐济挪威朝鲜尼日利亚阿根廷匈牙利爱尔兰印度老挝葡萄牙乌克兰印度尼西亚哈萨克斯坦塔吉克斯坦希腊南非蒙古奥地利肯尼亚加纳丹麦津巴布韦埃及坦桑尼亚捷克阿联酋安哥拉