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数列：递推式求数列通项公式的常见类型及解法

教育 2024-11-11 21:30 江苏

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对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。

一、型

例1. 在数列{a_n}中，已知，求通项公式。

解：已知递推式化为，即，

所以。

将以上个式子相加，得

，

所以。

二、型

例2. 求数列的通项公式。

解：当，

即

当，

所以。

三、型

例3. 在数列中，，求。

解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。

所以有。

解法2：又已知递推式，得

上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。

所以，所以。

四、型

例4. 设数列，求通项公式。

解：设，则，，

所以，

即

。

设

这时，所以。

由于{b_n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型

例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a_n的通项公式。

解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。

说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型

例6. 已知数列，求。

解：在两边减去。

所以为首项，以。

所以

令上式，再把这个等式累加，得

。

所以。

说明：可以变形为，就是

，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。

等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

来源网络，侵删

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