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高中数学函数性质知识点
知识点1：单调性
一、单调性的证明方法：定义法及导数法
1、定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性。
2、导数法：
设函数y＝f(x)在某区间D内可导。如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。
补充
a.若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。
b.单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。
二、单调性的有关结论
1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数。
2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。
3、y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数，简称”同增异减”。
4、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
知识点2：奇偶性
一、简单性质：
1、图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
2、设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇
3、任意一个定义域关于原点对称的函数f(x）均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则
4、奇偶函数图象的对称性
（1）若y=f(a+x)是偶函数，则f(a+x)=f(a-x)↔f(2a-x)=f(x)↔f(x)的图象关于直线x=a对称；（2）若y=f(b+x)是偶函数，则f(b-x)=-f(b+x)↔f(2a-x)=-f(x)↔f(x)的图象关于点（b,0)中心对称
5、一些重要类型的奇偶函数：
知识点3：周期性
一、重要结论
1、f(x+a)=f(x)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数；
2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f(x+a)=f(x-a)，则是以T=2a为周期的周期函数
4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=2a为周期的周期函数。
7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=4a为周期的周期函数。
8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。
9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。
10、函数y=f(x)x∈R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a<b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数；
11、函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x) 是以4(b-a)为周期的周期函数；
12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。
13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(T/2)=0。
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