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高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧

教育 2024-11-08 19:03 江苏

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高中数学：均值定理、均值不等式的证明及应用

运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。

1. 凑系数

例1 当时，求的最大值。

利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。

解：由，知，当且仅当时取等号。其最大值是8。

小结：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例2 求的最值。

分析：由题意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。

解：∵，

∴，即。

，当且仅当，即时等号成立。

∴函数有最大值。

3. 分离

例3 经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为。

在该时段内，当汽车的平均速率为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）

分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。

解：依题意得：

。

当且仅当，即时，上式等号成立。

∴当时，（千辆/小时）。

4. 平方

例4 求函数的最大值。

分析：注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。

解：。

当且仅当，即时取等号。

又，可知，故。

5. 统一

例5 已知正数，满足，求的最大值。

分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。

解：∵，

∴。

∴。

当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。故有最大值为。

6. 代换

例6 已知正数、满足，求的最小值。

分析：将看作，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。

解：。

由题意知，当且仅当且时等号成立，又因、为正数，解得，，故最小值是18。

7. 构造

例7 已知，求的最小值。

分析：注意到所求式子的分母满足，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解。

解：∵，

∴。

∵，

∴

当且仅当，即时等号成立。

故的最小值为25。

来源：高中数学公式大全

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